Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem e entender como aplicar as técnicas básicas para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar o trabalho. A equação dada é:
Podemos rearranjar isso para:
Isso significa que a taxa de variação de
em relação ao tempo
é proporcional a
, com uma constante de proporcionalidade
.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
. A integração é uma técnica que nos permite encontrar a função original a partir de sua derivada. Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral de
simplifica para
, então temos:
onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
. Substituindo
na equação:
Como a integral de uma constante em zero é zero, simplifica para:
Então, nossa equação fica:
Passo 5
Se assumirmos que
, a equação se torna:
Essa é uma equação diferencial de separação de variáveis que podemos resolver dessa forma:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Podemos chamar
de
(já que quando
,
):
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
.