Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
dy - k P(t) dt = 0, y(0) = y0 Res.: y = y0 * e^(k * t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é com a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem e entender como aplicar as técnicas básicas para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar o trabalho. A equação dada é:
Podemos rearranjar isso para:
Isso significa que a taxa de variação de em relação ao tempo é proporcional a , com uma constante de proporcionalidade .

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar . A integração é uma técnica que nos permite encontrar a função original a partir de sua derivada. Integrando ambos os lados em relação a :
A integral de simplifica para , então temos:
onde é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial . Substituindo na equação:
Como a integral de uma constante em zero é zero, simplifica para:
Então, nossa equação fica:

Passo 5

Se assumirmos que , a equação se torna:
Essa é uma equação diferencial de separação de variáveis que podemos resolver dessa forma:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Podemos chamar de (já que quando , ):

Resposta

A solução do problema de valor inicial é .

Exercícios relacionados