Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde
é a região delimitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
, onde a região
é delimitada pela equação
. A gente vai usar coordenadas polares para facilitar a resolução. Então, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para polares e aplicar essa mudança na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação dada é
. Podemos completar o quadrado para identificar que tipo de região é essa. Reescrevendo:
Isso mostra que
é um círculo de raio 2, centrado no ponto
.
Passo 3
Como vamos mudar para coordenadas polares, precisamos lembrar que:
E a área diferencial em coordenadas polares é:
Além disso, a equação do círculo em coordenadas polares fica:
Passo 4
Vamos simplificar a equação do círculo em coordenadas polares:
Portanto,
ou
. Como
é o ponto central, a fronteira da região é
.
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração. Em coordenadas polares,
varia de
a
para cobrir todo o círculo à direita do eixo
. Mas como o raio
só é positivo quando
,
varia de
a
.
Então, os limites são:
Passo 6
Vamos reescrever a integral original em coordenadas polares:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Passo 9
Para resolver
, usamos a identidade trigonométrica:
E sabemos que:
Então:
Passo 10
Agora, integramos termo a termo:
As integrais das funções cosseno em intervalos simétricos em torno de zero são zero:
Então:
Resposta
Substituindo de volta na integral original:
Portanto, o valor da integral é
.