Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR x d A; onde R é a região delimitada por x^2+y^2-4 x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla , onde a região é delimitada pela equação . A gente vai usar coordenadas polares para facilitar a resolução. Então, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para polares e aplicar essa mudança na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região x^2 - 4x + y^2 = 0 (x^2 - 4x + 4) + y^2 = 4 (x - 2)^2 + y^2 = 2^2 . A equação dada é . Podemos completar o quadrado para identificar que tipo de região é essa. Reescrevendo:
Isso mostra que é um círculo de raio 2, centrado no ponto .

Passo 3

Como vamos mudar para coordenadas polares, precisamos lembrar que:
x = r cos theta y = r sin theta
E a área diferencial em coordenadas polares é:
dA = r , dr , dtheta
Além disso, a equação do círculo em coordenadas polares fica:
(r cos theta - 2)^2 + (r sin theta)^2 = 4

Passo 4

Vamos simplificar a equação do círculo em coordenadas polares:
(r cos theta - 2)^2 + (r sin theta)^2 = 4 r^2 cos^2 theta - 4r cos theta + 4 + r^2 sin^2 theta = 4 r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) - 4r cos theta + 4 = 4 r^2 - 4r cos theta = 0 r (r - 4 cos theta) = 0
Portanto, ou . Como é o ponto central, a fronteira da região é .

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração. Em coordenadas polares, theta: -pi2 <= theta <= pi2 r: 0 <= r <= 4 cos theta varia de a para cobrir todo o círculo à direita do eixo . Mas como o raio só é positivo quando , varia de a .
Então, os limites são:

Passo 6

Vamos reescrever a integral original em coordenadas polares:
integral duplaR x , dA = integral-pi2^pi2 integral0^4 cos theta (r cos theta) cdot r , dr , dtheta = integral-pi2^pi2 integral0^4 cos theta r^2 cos theta , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^4 cos theta r^2 cos theta , dr = cos theta integral0^4 cos theta r^2 , dr = cos theta [ r^33 ]0^4 cos theta = cos theta ( (4 cos theta)^33 - 0 ) = cos theta cdot 64 cos^3 theta3 = 64 cos^4 theta3 :

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral duplaR x , dA = integral-pi2^pi2 64 cos^4 theta3 , dtheta = 643 integral-pi2^pi2 cos^4 theta , dtheta

Passo 9

Para resolver cos^4 theta = ( cos^2 theta )^2 = ( 1 + cos 2theta2 )^2 = 14 (1 + 2 cos 2theta + cos^2 2theta) , usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 2theta = 1 + cos 4theta2
E sabemos que:
cos^4 theta = 14 (1 + 2 cos 2theta + 1 + cos 4theta2 ) = 14 ( 32 + 2 cos 2theta + cos 4theta2 ) = 38 + cos 2theta2 + cos 4theta8
Então:

Passo 10

Agora, integramos termo a termo:
integral-pi2^pi2 cos^4 theta , dtheta = integral-pi2^pi2 ( 38 + cos 2theta2 + cos 4theta8 ) dtheta = 38 integral-pi2^pi2 dtheta + 12 integral-pi2^pi2 cos 2theta , dtheta + 18 integral-pi2^pi2 cos 4theta , dtheta
As integrais das funções cosseno em intervalos simétricos em torno de zero são zero:
integral-a^a cos(ktheta) , dtheta = 0 para k neq 0
Então:
= 38 cdot pi + 0 + 0 = 3pi8

Resposta

Substituindo de volta na integral original:
integral duplaR x , dA = 643 cdot 3pi8 = 8pi
Portanto, o valor da integral é .

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