Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar a função
que satisfaz essa equação quando
e
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias, especificamente usando métodos de separação de variáveis para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada de forma mais clara:
Vamos isolar os termos que envolvem
:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados. Dividimos os dois lados por
:
Isso facilita a separação das variáveis.
Passo 4
A próxima etapa é multiplicar ambos os lados por
para separar as variáveis
e
:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que nos permite integrar.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados:
No lado esquerdo, a integral de
é
.
Passo 6
No lado direito, precisamos integrar
. Reconhecemos que isso é
. Então, a integral fica:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
Agora, vamos resolver para
:
Aqui,
é outra constante que podemos combinar com
.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante. Sabemos que
, então:
Portanto, a solução simplificada é:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: