Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
t * y * y' - ln(t) = 0, y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar a função que satisfaz essa equação quando e . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias, especificamente usando métodos de separação de variáveis para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada de forma mais clara:
Vamos isolar os termos que envolvem :

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis e para integrar ambos os lados. Dividimos os dois lados por :
Isso facilita a separação das variáveis.

Passo 4

A próxima etapa é multiplicar ambos os lados por para separar as variáveis e :
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que nos permite integrar.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados:
No lado esquerdo, a integral de é .

Passo 6

No lado direito, precisamos integrar . Reconhecemos que isso é . Então, a integral fica:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
Agora, vamos resolver para :
Aqui, é outra constante que podemos combinar com .

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante. Sabemos que , então:
Portanto, a solução simplificada é:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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