Verifique que as equações diferenciais abaixo são homogêneas, em seguida calcule a solução geral das mesmas:
Definição: Uma função
é dita homogênea de grau
se
Definição: Uma equação diferencial da forma
é dita uma equação diferencial homogênea se
e
são funções homogêneas de mesmo grau. Nesse caso, a equação diferencial é resolvida por meio da mudança de coordenadas
a qual transformará a equação diferencial em uma equação de variáveis separáveis (nas variáveis
e
), que pode ser resolvida. A solução geral da equação original é determinada devolvendo
à solução obtida (retirando-se
da resposta).
Res.:
Definição: Uma função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial e precisamos verificar se ela é homogênea. Depois, vamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar conhecer as definições de funções e equações diferenciais homogêneas, além de usar uma mudança de variável para simplificar a resolução.
Passo 2
Vamos começar verificando se a equação diferencial dada é homogênea. A equação é:
Podemos reescrever essa equação na forma:
Ou seja:
Rearranjando, temos:
Comparando com a forma geral de uma equação diferencial homogênea:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
e
são funções homogêneas de mesmo grau. Uma função
é homogênea de grau
se:
Vamos verificar para
:
Agora, para
:
Como ambos
e
são homogêneos de grau 1, a equação diferencial é homogênea.
Passo 4
Como a equação é homogênea, podemos usar a mudança de coordenadas:
Substituindo esses na equação original, temos:
Simplificando:
Agrupando os termos com
e
:
Simplificando ainda mais:
Dividindo toda a equação por
, para simplificar:
Passo 5
Queremos separar as variáveis
e
. Reescrevemos a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar ambos os lados.
Passo 6
Integrando os dois lados:
A integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 7
Vamos simplificar a equação para encontrar
em termos de
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos reescrever
como
onde
:
Agora, exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Substituindo
por
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: