Verifique que as equações diferenciais abaixo são homogêneas, em seguida calcule a solução geral das mesmas:
Definição: Uma função f(t, y) é dita homogênea de grau n se
f(lambda t, lambda y) = lambda^n f(t, y) , n em R
Definição: Uma equação diferencial da forma
M(t, y) dt + N(t, y) dy = 0
é dita uma equação diferencial homogênea se M e N são funções homogêneas de mesmo grau. Nesse caso, a equação diferencial é resolvida por meio da mudança de coordenadas
y = t x dy = t dx + x dt
a qual transformará a equação diferencial em uma equação de variáveis separáveis (nas variáveis t e x ), que pode ser resolvida. A solução geral da equação original é determinada devolvendo y à solução obtida (retirando-se x da resposta).
y' = (t + y) / (2 * t) Res.: t = C(t - y)^{2}

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial e precisamos verificar se ela é homogênea. Depois, vamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar conhecer as definições de funções e equações diferenciais homogêneas, além de usar uma mudança de variável para simplificar a resolução.

Passo 2

Vamos começar verificando se a equação diferencial dada é homogênea. A equação é:
Podemos reescrever essa equação na forma:
Ou seja:
Rearranjando, temos:
Comparando com a forma geral de uma equação diferencial homogênea:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se e são funções homogêneas de mesmo grau. Uma função é homogênea de grau se:
Vamos verificar para :
Agora, para :
Como ambos e são homogêneos de grau 1, a equação diferencial é homogênea.

Passo 4

Como a equação é homogênea, podemos usar a mudança de coordenadas:
Substituindo esses na equação original, temos:
Simplificando:
Agrupando os termos com e :
Simplificando ainda mais:
Dividindo toda a equação por , para simplificar:

Passo 5

Queremos separar as variáveis e . Reescrevemos a equação:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar ambos os lados.

Passo 6

Integrando os dois lados:
A integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 7

Vamos simplificar a equação para encontrar em termos de . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos reescrever como onde :
Agora, exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Substituindo por :

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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