Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR x d A; onde R é o disco com centro na origem e raio 5 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde a gente precisa encontrar integral duplaR x , dA. A região R é um disco com o centro na origem e raio 5. Aqui, vamos usar coordenadas polares para facilitar a resolução, já que a região é circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a gente faz a mudança de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta). As fórmulas são:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
E o elemento de área diferencial muda para:
dA = r , dr , dtheta

Passo 3

Substituindo x e dA nas inequações da integral, temos:
integral duplaR x , dA = integral duplaR r cos(theta) cdot r , dr , dtheta = integral duplaR r^2 cos(theta) , dr , dtheta

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração em coordenadas polares. Como R é um disco de raio 5:
  • r varia de 0 a 5
  • theta varia de 0 a 2pi
Portanto, a integral fica:
integral0^2pi integral0^5 r^2 cos(theta) , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^5 r^2 , dr = [ r^33 ]0^5 = 5^33 - 0 = 1253

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
1253 integral0^2pi cos(theta) , dtheta
Sabemos que a integral de cos(theta) de 0 a 2pi é zero, porque é uma função oscilante que se cancela ao longo do ciclo completo.

Passo 7

Portanto, o resultado final da integral é:
1253 times 0 = 0

Resposta

O valor da integral dupla é 0.

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