Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde
é o disco com centro na origem e raio 5 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde a gente precisa encontrar
. A região
é um disco com o centro na origem e raio 5. Aqui, vamos usar coordenadas polares para facilitar a resolução, já que a região é circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a gente faz a mudança de coordenadas cartesianas
para polares
. As fórmulas são:
E o elemento de área diferencial muda para:
Passo 3
Substituindo
e
nas inequações da integral, temos:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração em coordenadas polares. Como
é um disco de raio 5:
-
varia de 0 a 5 -
varia de 0 a
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Sabemos que a integral de
de 0 a
é zero, porque é uma função oscilante que se cancela ao longo do ciclo completo.
Passo 7
Portanto, o resultado final da integral é:
Resposta
O valor da integral dupla é
.