Sabendo que
11-x=sumn=0^infty x^n, forall x in]-1,1[
encontre uma série de potências que represente a função f(x)=x^29-x^2 e, usando o resultado obtido, calcule f^(10)(0).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas: a) achar a série de potências para
f(x)=x^29-x^2
usando que
11 - x = sumn=0^infty x^n, |x|<1
e b), a partir dessa série, calcular a décima derivada em zero, f^(10)(0).
Conteúdo: séries de potências (geométricas) e derivadas de séries. Vamos precisar reescrever f(x) num formato tfrac11 - u e usar o fato de que, para
f(x)=sumk=0^infty ak x^k, a derivada de ordem k em zero é f^(k)(0)=k!,ak.

Passo 2

Primeiro, transformar f(x) em algo do tipo tfrac11-u. Note que
x^29-x^2 = x^29l(1 - tfracx^29r) = x^29;11 - x^29
Aqui a “parte geométrica” é tfrac11 - (x^2/9).

Passo 3

Agora usamos a expansão geométrica com [u = \frac{x^2}{9}), válida para (ou seja ):
Multiplicando , a série de fica
Ou, reindexando onde , os coeficientes são
é par e },\ 0 & caso contrário. \end{cases}]
Mas a forma mais prática é:

Passo 4

Para achar f^(10)(0) usamos que, na expansão
f(x)=sumk=0^infty ak x^k,
temos
f^(k)(0)=k!,ak
Então procuramos o coeficiente a10. Na nossa série, k=2n+2. Se 2n+2=10, então n=4. Logo
a10=19^,4+1=19^5=159049
Logo
f^(10)(0) =10!,a10 =;10!;19^5 =10!9^5

Resposta

f(x)=sumn=0^infty x^2n+29^,n+1, e f^(10)(0)=10!9^5

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