encontre uma série de potências que represente a função e, usando o resultado obtido, calcule .
Passo 1
Beleza, o enunciado pede duas coisas: a) achar a série de potências para
usando que
e b), a partir dessa série, calcular a décima derivada em zero, .
Conteúdo: séries de potências (geométricas) e derivadas de séries. Vamos precisar reescrever num formato e usar o fato de que, para , a derivada de ordem em zero é .
Passo 2
Primeiro, transformar em algo do tipo . Note que
Aqui a “parte geométrica” é .
Passo 3
Agora usamos a expansão geométrica com [u = \frac{x^2}{9}), válida para (ou seja ):
Multiplicando , a série de fica
Ou, reindexando onde , os coeficientes são
é par e },\ 0 & caso contrário. \end{cases}]
Mas a forma mais prática é:
Passo 4
Para achar f^(10)(0) usamos que, na expansão f(x)=sumk=0^infty ak x^k,
temos
f^(k)(0)=k!,ak
Então procuramos o coeficiente a10. Na nossa série, k=2n+2. Se 2n+2=10, então n=4. Logo
a10=19^,4+1=19^5=159049
Logo
f^(10)(0) =10!,a10 =;10!;19^5 =10!9^5
Resposta
f(x)=sumn=0^infty x^2n+29^,n+1, e f^(10)(0)=10!9^5