Verifique que as equações diferenciais abaixo são homogêneas, em seguida calcule a solução geral das mesmas:
Definição: Uma função f(t, y) é dita homogênea de grau n se
f(lambda t, lambda y) = lambda^n f(t, y) , n em R
Definição: Uma equação diferencial da forma
M(t, y) dt + N(t, y) dy = 0
é dita uma equação diferencial homogênea se M e N são funções homogêneas de mesmo grau. Nesse caso, a equação diferencial é resolvida por meio da mudança de coordenadas
y = t x dy = t dx + x dt
a qual transformará a equação diferencial em uma equação de variáveis separáveis (nas variáveis t e x ), que pode ser resolvida. A solução geral da equação original é determinada devolvendo y à solução obtida (retirando-se x da resposta).
(t^2 - y^2) dy - t y dt = 0 Res.: y = C * e^(t^2 / (2 * y^2))

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
O objetivo é verificar se essa equação é homogênea e, se for, encontrar a solução geral dela. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser homogênea e como resolver equações diferenciais homogêneas usando uma mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as funções e são homogêneas e de mesmo grau.
Uma função é homogênea de grau se, ao multiplicarmos ambos os argumentos por , a função inteira é multiplicada por :
Vamos testar :
Então, é homogênea de grau 2.
Agora, vamos testar :
Portanto, também �� homogênea de grau 2.
Como e são homogêneas do mesmo grau, a equação diferencial é homogênea.

Passo 3

Como a equação é homogênea, podemos usar a substituição , onde é uma nova variável. Vamos calcular :
Substituindo e na equação original:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Distribuindo :
Agrupando os termos com :
Simplificando:
Agora, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Vamos separar as variáveis e :
Simplificando o lado esquerdo:
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar . Lembrando que :
Substituindo :
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Podemos simplificar a constante como outra constante :
Para expressar de forma explícita, podemos reescrever a equação:
Exponenciando ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Onde é uma constante que engloba .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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