Verifique que as equações diferenciais abaixo são homogêneas, em seguida calcule a solução geral das mesmas:
Definição: Uma função é dita homogênea de grau se
Definição: Uma equação diferencial da forma
é dita uma equação diferencial homogênea se e são funções homogêneas de mesmo grau. Nesse caso, a equação diferencial é resolvida por meio da mudança de coordenadas
a qual transformará a equação diferencial em uma equação de variáveis separáveis (nas variáveis e ), que pode ser resolvida. A solução geral da equação original é determinada devolvendo à solução obtida (retirando-se da resposta). Res.:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
O objetivo é verificar se essa equação é homogênea e, se for, encontrar a solução geral dela. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser homogênea e como resolver equações diferenciais homogêneas usando uma mudança de variável.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se as funções e são homogêneas e de mesmo grau.
Uma função é homogênea de grau se, ao multiplicarmos ambos os argumentos por , a função inteira é multiplicada por :
Vamos testar :
Então, é homogênea de grau 2.
Agora, vamos testar :
Portanto, também �� homogênea de grau 2.
Como e são homogêneas do mesmo grau, a equação diferencial é homogênea.
Passo 3
Como a equação é homogênea, podemos usar a substituição , onde é uma nova variável. Vamos calcular :
Substituindo e na equação original:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Distribuindo :
Agrupando os termos com :
Simplificando:
Agora, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Passo 4
Vamos separar as variáveis e :
Simplificando o lado esquerdo:
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar . Lembrando que :
Substituindo :
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Podemos simplificar a constante como outra constante :
Para expressar de forma explícita, podemos reescrever a equação: