Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis dadas:
Definição: Uma equação diferencial da forma
ou
é dita uma equação diferencial de variáveis separáveis e sua solução geral é dada por:
Res.:
Definição: Uma equação diferencial da forma
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo variáveis separáveis. A equação que temos é:
Variáveis separáveis são aquelas onde conseguimos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação, o que facilita muito a resolução. Para isso, vamos reorganizar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Substituindo isso na equação, temos:
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções primitiva (antiderivada) de cada lado.
Integramos o lado esquerdo em relação a
:
E o lado direito em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver as integrais:
- Para o lado esquerdo:
- Para o lado direito:
Então, a equação fica:
Onde
é a constante de integração que aparece ao integrar.
Passo 5
Agora, vamos isolar
para deixar a solução mais simples. Multiplicamos ambos os lados por 2:
Como
é apenas uma constante qualquer, podemos renomeá-la como
. Assim, a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é: