Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis dadas:
Definição: Uma equação diferencial da forma M(t)+N(y) y^prime=0 ou M(t) d t+ N(t) d y=0 é dita uma equação diferencial de variáveis separáveis e sua solução geral é dada por:
integral M(t) d t=-integral N(y) d y+C
y y^prime=sin t Res.: y^2=C-2 cos t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo variáveis separáveis. A equação que temos é:
y cdot y' = sin t
Variáveis separáveis são aquelas onde conseguimos separar as variáveis e em lados diferentes da equação, o que facilita muito a resolução. Para isso, vamos reorganizar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que y cdot dydt = sin t é a derivada de y cdot dy = sin t cdot dt em relação a , ou seja, . Substituindo isso na equação, temos:
Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, multiplicamos ambos os lados por :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções primitiva (antiderivada) de cada lado.
Integramos o lado esquerdo em relação a integral y , dy :
integral sin t , dt
E o lado direito em relação a :

Passo 4

Vamos resolver as integrais:
  • Para o lado esquerdo:
integral y , dy = y^22
  • Para o lado direito:
integral sin t , dt = -cos t
Então, a equação fica:
y^22 = -cos t + C
Onde é a constante de integração que aparece ao integrar.

Passo 5

Agora, vamos isolar y^2 = -2cos t + 2C para deixar a solução mais simples. Multiplicamos ambos os lados por 2:
y^2 = C - 2cos t
Como é apenas uma constante qualquer, podemos renomeá-la como . Assim, a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y^2 = C - 2 cos t

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