Usando o método de Newton, com precisão varepsilon=10^-4, determinar uma raiz da equação:
5 x^3+x^2-12 x+4=0

Passo 1

Beleza, a questão pede pra usar o método de Newton (ou Newton–Raphson) pra achar uma raiz da equação
5x^3 + x^2 - 12x + 4 = 0
com precisão xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) . Isso faz parte de Métodos Numéricos para resolver equações não-lineares.
O que vamos precisar:
1) Definir .
2) Calcular a derivada .
3) Aplicar a fórmula iterativa

até que .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de f'(x) = ddx(5x^3) + ddx(x^2) - ddx(12x) + ddx(4) = 15x^2 + 2x - 12 .
Se , então
A derivada representa a inclinação da curva, e a usamos na fórmula de Newton pra aproximar melhor a raiz.

Passo 3

Agora escolhemos um chute inicial .
Para isso, dá pra testar valores simples:
  • (negativo)
  • (positivo)
    Ou seja, tem raiz entre 1 e 2. Vou pegar .

Passo 4

Vamos à primeira iteração:
  1. Calcular f(1.3) = 5(1.3)^3 + (1.3)^2 - 12(1.3) + 4 approx 1.075, f'(1.3) = 15(1.3)^2 + 2(1.3) - 12 approx 15.95 e x1 = 1.3 - 1.07515.95 approx 1.2326 :
  1. Atualizar :

Passo 5

Segunda iteração:
f(1.2326) approx 0.0919, f'(1.2326) approx 13.2543,
x2 = 1.2326 - 0.091913.2543 approx 1.2257
Diferença , ainda maior que , continuamos.

Passo 6

Terceira iteração:
f(1.2257) approx 0.0009, f'(1.2257) approx 12.9858,
x3 = 1.2257 - 0.000912.9858 approx 1.2256
Agora . Paramos, a precisão foi atingida.

Resposta

A raiz aproximada, com boxedx approx 1.2256 , é

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