Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD e^-x^2-y^2 d A, onde D é a região delimitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA,
onde D é a região no semicírculo de raio 2 no semiplano x>=0. Vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
o que dá
e^-x^2-y^2 = e^-r^2 e dA = r,dr,dtheta
A descrição da região D em polares é
0 <= r <= 2, -tfracpi2 <= theta <= tfracpi2

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral-pi/2^pi/2integral0^2 e^-r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a parte radial:
integral0^2 e^-r^2,r,dr = -tfrac12,e^-r^2|0^2 = tfrac12l(1 - e^-4r)

Passo 5

A integral em theta
integral-pi/2^pi/2 dtheta = pi
Multiplicando as duas partes,
pi cdot tfrac12l(1 - e^-4r) = pi2l(1 - e^-4r)

Resposta

pi2l(1 - e^-4r)

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