Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região delimitada pelo semicírculo
e o eixo
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
,
onde é a região no semicírculo de raio
no semiplano
. Vamos usar coordenadas polares.
onde
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
o que dá
A descrição da região
em polares é
Passo 3
Substituindo na integral, obtemos
Passo 4
Calculemos primeiro a parte radial:
Passo 5
A integral em
theta dá
Multiplicando as duas partes,