Encontre f^prime(x) e f^prime prime(x).
f(x)=x^2 e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função f(x) = x^2 e^x . Estamos lidando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas de funções que são produtos de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra do Produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada f'(x) . A função f(x) = x^2 e^x é um produto de duas funções: u(x) = x^2 e v(x) = e^x .

Passo 3

A Regra do Produto diz que se você tem uma função que é o produto de duas funções, u(x) e v(x) , então a derivada é:
f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)
Então, precisamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x) .

Passo 4

Calculando as derivadas:
u'(x) = ddx (x^2) = 2x
v'(x) = ddx (e^x) = e^x
Agora, aplicamos a Regra do Produto:
f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = 2x cdot e^x + x^2 cdot e^x
Podemos fatorar e^x :
f'(x) = e^x (2x + x^2)

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada f''(x) . Precisamos derivar f'(x) = e^x (2x + x^2) . Novamente, temos um produto, então aplicamos a Regra do Produto mais uma vez.

Passo 6

Vamos identificar as funções para a Regra do Produto:
u(x) = e^x e v(x) = 2x + x^2
Calculando as derivadas:
u'(x) = ddx (e^x) = e^x
v'(x) = ddx (2x + x^2) = 2 + 2x
Aplicando a Regra do Produto:
f''(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = e^x (2x + x^2) + e^x (2 + 2x)
Fatorando e^x :
f''(x) = e^x (2x + x^2 + 2 + 2x) = e^x (x^2 + 4x + 2)

Resposta

A primeira derivada é:
f'(x) = e^x (2x + x^2)
E a segunda derivada é:
f''(x) = e^x (x^2 + 4x + 2)

Exercícios relacionados