Resolva cada um dos seguintes problemas com valor inicial usando transformadas de Laplace.
(d) y^prime prime-2 y^prime+2 y=e^-t, y(0)=0, y^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 2y' + 2y = e^-t, y(0)=0, y'(0)=1,
usando transformada de Laplace. Denotamos Y(s)= Ly(t) e recordamos que
Ly'=sY(s)-y(0),
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)
e
Le^-t=tfrac1s+1.

Passo 2

Aplicamos a transformada em ambos os lados e substituímos as condições iniciais:
Ly'' - 2, Ly' + 2, Ly = Le^-t
Logo,
(s^2Y(s)-1) - 2,(sY(s)) + 2,Y(s) = 1s+1,
(s^2 - 2s + 2),Y(s) - 1 = 1s+1,
(s^2 - 2s + 2),Y(s) = 1 + 1s+1,
Y(s) = 1 + 1s+1s^2 - 2s + 2 = s+2(s+1),(s^2 - 2s + 2)

Passo 3

Observamos que s^2 - 2s + 2 = (s-1)^2 + 1 e fazemos frações parciais:
s+2(s+1)l((s-1)^2+1r) = As+1 + B(s-1)+C(s-1)^2+1
Multiplicando pelo denominador comum e igualando coeficientes, obtém-se o sistema que leva a
A = 15, B = -15, C = 75

Passo 4

Com esses valores, reescrevemos
Y(s) = tfrac15s+1 - tfrac15(s-1)(s-1)^2+1 + tfrac75(s-1)^2+1
Então usamos as inversas
L^-1tfrac1s+1=e^-t,
L^-1tfracs-1(s-1)^2+1=e^tcos t
e
L^-1tfrac1(s-1)^2+1=e^tsin t,
chegando a
y(t) = 15e^-t - 15e^tcos t + 75e^tsin t

Resposta

y(t) = 15e^-t - 15e^tcos t + 75e^tsin t

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