Encontre f^prime(x) e f^prime prime(x).
f(x)=x1+raizx

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a primeira e a segunda derivada de
f(x) = x1+raizx
Estamos no contexto de derivadas de funções envolvendo raiz quadrada, então vamos usar a regra do quociente (ou então reescrever como produto e aplicar cadeia e produto).

Passo 2

Usando a regra do quociente, se u(x)=x e v(x)=1+raizx, então
u'(x)=1, v'(x)=12raizx
Logo
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =1cdot(1+raizx)-xcdot12raizxl(1+raizxr)^2

Passo 3

No numerador simplificamos x/(2raizx)=raizx/2, ficando
f'(x) =1+raizx-tfracraizx2(1+raizx)^2 =1+tfracraizx2(1+raizx)^2 =2+raizx2,(1+raizx)^2

Passo 4

Para f''(x) reescrevemos
f'(x)=2+raizx2,(1+raizx)^-2
e aplicamos produto e cadeia. Seja
g(x)=2+raizx, h(x)=(1+raizx)^-2
Então
g'(x)=12raizx, h'(x)=-2,(1+raizx)^-3cdot12raizx =-1raizx,(1+raizx)^-3
Dessa forma,
f''(x) =12l(g'(x)h(x)+g(x)h'(x)r) =12l(12raizx(1+raizx)^-2 -(2+raizx)1raizx(1+raizx)^-3r)
Fatorando x^-1/2(1+raizx)^-3 e simplificando a combinação interna, obtemos
f''(x) =-3+raizx4,raizx,(1+raizx)^3

Resposta

f'(x)=2+raizx2,(1+raizx)^2, f''(x)=-3+raizx4,raizx,(1+raizx)^3

Exercícios relacionados