Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD 1 / raizx^2+y^2 d A, onde D é a região limitada pela cardioide r=4+sen theta e fora do círculo r=4

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaD 1raizx^2+y^2,dA
onde D é a região delimitada pela cardioide r=4+sintheta e fica fora do círculo r=4. Vamos usar coordenadas polares para transformar a integral.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x=rcostheta, y=rsintheta, logo raizx^2+y^2=r e
dA = r,dr,dtheta
O integrando fica
1raizx^2+y^2,dA = 1r,r,dr,dtheta = dr,dtheta

Passo 3

Para encontrar os limites da região, note que a cardioide r=4+sintheta intersecta o círculo r=4 quando sintheta=0, ou seja em theta=0 e theta=pi. Para thetain[0,pi] temos sintheta>=0 e então 4+sintheta>=4. Assim a região D é dada por
0<=theta<=pi, 4<= r<= 4+sintheta

Passo 4

Substituindo na integral:
integral duplaD1raizx^2+y^2,dA = integral0^piintegral4^4+sintheta dr,dtheta = integral0^pil[rr]4^4+sintheta,dtheta = integral0^pisintheta,dtheta

Passo 5

Calculando a integral em theta:
integral0^pisintheta,dtheta = l[-costhetar]0^pi = -cospi -l(-cos0r) = 2

Resposta

2

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