Determine o limites
lim x 1 ln (2 x)x-1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrarmos o limite quando x se aproxima de 1 da expressão ln(2x)x - 1 . Estamos trabalhando com limites em Cálculo, e para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as funções logarítmicas e as regras para calcular limites, especialmente quando temos uma forma de “indeterminação”.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
ln(2 times 1)1 - 1 = ln(2)0
Aqui, estamos dividindo um número finito ( ln(2) ) por zero, o que nos dá uma indeterminação do tipo c0 , onde c é uma constante diferente de zero. Isso sugere que o limite pode ser infinito ou não existir.

Passo 3

Mas, para termos certeza, vamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de 1 pelo lado direito ( x to 1^+ ) e pelo lado esquerdo ( x to 1^- ).
Quando x se aproxima de 1 por valores maiores que 1 ( x to 1^+ ):
  • O numerador ln(2x) se aproxima de ln(2) .
  • O denominador x - 1 se aproxima de 0 pelo lado positivo.
Então, a fração está se aproximando de ln(2)0^+ = +infty .
Quando x se aproxima de 1 por valores menores que 1 ( x to 1^- ):
  • O numerador ln(2x) ainda se aproxima de ln(2) .
  • O denominador x - 1 se aproxima de 0 pelo lado negativo.
Então, a fração está se aproximando de ln(2)0^- = -infty .

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes ( +infty pela direita e -infty pela esquerda), o limite geral não existe.

Resposta

O limite limx 1 ln(2x)x - 1 não existe.

Exercícios relacionados