Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
,onde
é á região limitada pela cardioide
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é a região limitada pela cardioide
. O conteúdo é integração dupla em coordenadas polares, usando
e
.
Passo 2
Em coordenadas polares substituímos
logo o integrando torna-se
Passo 3
A região
em polares é dada por
Portanto a integral fica
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Então
Passo 5
Expandimos
:
Usamos
Passo 6
Substituindo e somando termos obtemos
Passo 7
Integramos de
a
. Os termos com
somam zero, restando
Passo 8
Multiplicando pelo fator
do Passo 4, obtemos o valor final: