Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD raizx^2+y^2 d A,onde D é á região limitada pela cardioide r=1+cos theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral duplaD raizx^2+y^2;dA
onde D é a região limitada pela cardioide r=1+costheta. O conteúdo é integração dupla em coordenadas polares, usando raizx^2+y^2=r e dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares substituímos
raizx^2+y^2=r, dA=r,dr,dtheta,
logo o integrando torna-se
rcdot r,dr,dtheta = r^2,dr,dtheta

Passo 3

A região D em polares é dada por
0<= theta <= 2pi, 0<= r<= 1+costheta
Portanto a integral fica
integral0^2pi!!integral0^1+costheta r^2,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em r:
integral0^1+costheta r^2,dr =[r^33]0^,1+costheta =(1+costheta)^33
Então
integral duplaDraizx^2+y^2,dA =13integral0^2pi(1+costheta)^3,dtheta

Passo 5

Expandimos (1+costheta)^3:
(1+costheta)^3 =1+3costheta+3cos^2theta+cos^3theta
Usamos
cos^2theta=1+cos2theta2, cos^3theta=3costheta+cos3theta4

Passo 6

Substituindo e somando termos obtemos
(1+costheta)^3 =52 +154costheta +32cos2theta +14cos3theta

Passo 7

Integramos de 0 a 2pi. Os termos com cos ktheta somam zero, restando
integral0^2pi(1+costheta)^3,dtheta =integral0^2pi52,dtheta =52cdot2pi =5pi

Passo 8

Multiplicando pelo fator tfrac13 do Passo 4, obtemos o valor final:
integral duplaDraizx^2+y^2,dA =13,5pi =5pi3

Resposta

5pi3

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