Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Abaixo do cone
e acima do anel
Abaixo do cone
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que está abaixo do cone dado por $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e acima de um anel com $ 4 \leq x^{2} + y^{2} \leq 25 $. A gente vai usar coordenadas polares para facilitar a resolução. Basicamente, coordenadas polares são uma maneira de representar pontos no plano usando um raio $ r $ e um ângulo $ \theta $, o que é super útil quando estamos lidando com figuras circulares como esse anel.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as equações que temos para coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares:
E, claro, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Então, o cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ fica:
E o anel $ 4 \leq x^{2} + y^{2} \leq 25 $ vira:
Passo 3
Agora, vamos pensar em como calcular o volume. Em coordenadas polares, o volume pode ser calculado através de uma integral tripla. Mas como estamos lidando com simetria em torno do eixo $ z $, podemos simplificar usando coordenadas cilíndricas, onde o volume $ V $ é dado por:
Aqui, $ r $ é o fator que aparece devido ao jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Agora, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a próxima integral, em relação a $ r $:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Por último, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
O volume do sólido é $ V = 78\pi $ unidades cúbicas.