Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Abaixo do cone z=raizx^2+y^2 e acima do anel 4 <= x^2+y^2 <= 25

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que está abaixo do cone dado por $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e acima de um anel com $ 4 \leq x^{2} + y^{2} \leq 25 $. A gente vai usar coordenadas polares para facilitar a resolução. Basicamente, coordenadas polares são uma maneira de representar pontos no plano usando um raio $ r $ e um ângulo $ \theta $, o que é super útil quando estamos lidando com figuras circulares como esse anel.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as equações que temos para coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares:
x = r costheta e y = r sintheta
E, claro, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Então, o cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ fica:
x^2 + y^2 = r^2
E o anel $ 4 \leq x^{2} + y^{2} \leq 25 $ vira:
z = raizx^2 + y^2

Passo 3

Agora, vamos pensar em como calcular o volume. Em coordenadas polares, o volume pode ser calculado através de uma integral tripla. Mas como estamos lidando com simetria em torno do eixo $ z $, podemos simplificar usando coordenadas cilíndricas, onde o volume $ V $ é dado por:
z
Aqui, $ r $ é o fator que aparece devido ao jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z
Agora, a integral fica:
integralz=0^r r , dz = r cdot z gr|0^r = r cdot r - r cdot 0 = r^2

Passo 5

Vamos resolver a próxima integral, em relação a $ r $:
r
Agora, a integral fica:
integralr=2^5 r^2 , dr = r^33 gr|2^5 = 5^33 - 2^33 = 1253 - 83 = 1173 = 39

Passo 6

Por último, integramos em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

O volume do sólido é $ V = 78\pi $ unidades cúbicas.

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