Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo y.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre a região
limitada pelo semicírculo
e pelo eixo
.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, onde usamos
, e o jacobiano
.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, onde usamos
Passo 2
Em coordenadas polares temos
logo o integrando vira
e o elemento de área
.
Passo 3
A região
é o semicírculo de raio
com
. Em polares isso significa
pois
exige
.
Passo 4
Substituindo na integral e separando as variáveis, obtemos
Primeiro fazemos a integral interna em
:
Passo 5
Agora a integral em
é trivial, pois não depende de
:
Multiplicando pelos dois resultados,