Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR e^-x^2-y^2 d A
onde R é a região limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR e^-x^2-y^2,dA
sobre a região R limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e pelo eixo y.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, onde usamos
;x=rcostheta,;y=rsintheta, e o jacobiano dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^2+y^2=r^2, dA = r,dr,dtheta,
logo o integrando vira e^-r^2 e o elemento de área r,dr,dtheta.

Passo 3

A região R é o semicírculo de raio 2 com x>=0. Em polares isso significa
0 <= r <= 2, -tfracpi2<=theta<=tfracpi2,
pois x=rcostheta>=0 exige costheta>=0.

Passo 4

Substituindo na integral e separando as variáveis, obtemos
integral duplaR e^-x^2-y^2,dA =integraltheta=-pi/2^pi/2!!integralr=0^2 e^-r^2,r,dr,dtheta
Primeiro fazemos a integral interna em r:
integral0^2 r,e^-r^2,dr =l[-tfrac12 e^-r^2r]0^2 =tfrac12l(1-e^-4r)

Passo 5

Agora a integral em theta é trivial, pois não depende de theta:
integral-pi/2^pi/2dtheta = pi
Multiplicando pelos dois resultados,
integral duplaR e^-x^2-y^2,dA =pi times tfrac12l(1-e^-4r) =tfracpi2l(1-e^-4r)

Resposta

pi2l(1-e^-4r)

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