Utilize coordenadas esféricas.
Calcule
integral triplaB(x^2+y^2+z^2)^2 d V
onde B é a bola com centro na origem e raio 6 .

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral triplo
integral triplaB(x^2+y^2+z^2)^2,dV
onde B é a bola de raio 6 centrada na origem. Como o integrando depende apenas de
,r=raizx^2+y^2+z^2, vamos usar coordenadas esféricas, em que
x^2+y^2+z^2=r^2,
e o elemento de volume é
dV = r^2sintheta,dr,dtheta,dphi

Passo 2

Em coordenadas esféricas os limites são
,rin[0,6], thetain[0,pi] e phiin[0,2pi].
O integrando (x^2+y^2+z^2)^2 vira r^4.
Logo o integral fica
integralphi=0^2pi!integraltheta=0^pi!integralr=0^6 r^4,l(r^2sinthetar),dr,dtheta,dphi

Passo 3

Separamos a parte angular da radial. Primeiro,
integralphi=0^2pidphi = 2pi,
integraltheta=0^pisintheta,dtheta = 2
Portanto, a integral sobre (phi,theta) vale
,2pitimes2=4pi.

Passo 4

Agora a parte radial:
integralr=0^6r^6,dr =[r^77]0^6 =6^77

Passo 5

Multiplicando a parte angular 4pi pela radial dfrac6^77, obtemos
4pi ,times 6^77 =4cdot6^7,pi7 =4cdot279936,pi7 =1119744,pi7

Resposta

boxed4cdot6^7,pi7 ;=;1119744,pi7

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