Use o teste do n-ésimo termo para a divergência. O que você pode concluir em cada caso?.
sumn=0^infty n(n+1)(n+2)(n+3)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste do n-ésimo termo (ou teste de divergência) à série
sumn=0^infty n(n+1)(n+2)(n+3),
para ver se ela diverge ou se o teste é inconclusivo. O conteúdo é o teste que diz que, se
limntoinftyanneq 0,
então a série sum an diverge, e se
limntoinftyan=0,
o teste não permite concluir nada (pode divergir ou convergir, é inconclusivo).

Passo 2

Definimos o termo geral
an = n(n+1)(n+2)(n+3)
Pelo teste do n-ésimo termo, calculamos
L = limntoinfty an
Se Lneq 0, a série diverge. Se L=0, o teste não garante convergência (é inconclusivo).

Passo 3

Para calcular o limite, podemos dividir numerador e denominador por n^2:
an = n^2 + nn^2 + 5n + 6 = 1 + tfrac1n1 + tfrac5n + tfrac6n^2
Tomando ntoinfty:
L = limntoinfty 1 + tfrac1n1 + tfrac5n + tfrac6n^2 = 1+01+0+0 = 1

Passo 4

Como L = 1 neq 0, a condição necessária para convergência não é satisfeita. Logo, pela contrapartida do teste do n-ésimo termo, a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois seu termo geral não tende a zero.

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