Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras(V) ou falsas (F). Demonstre as que julgar verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as que considerar falsas. Justifique seus argumentos com consistência.
(a) Dados
, se
e
, então
.
(b) Dados
, se
, então
.
(c)
para todo
.
(d)
.
(e)
.
(a) Dados
(b) Dados
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada uma das afirmações de (a) a (e) como verdadeira ou falsa. Para as verdadeiras, devemos demonstrar; para as falsas, fornecer um contra-exemplo. Vamos usar conceitos de ordenação em
, lei de cancelamento na multiplicação, soma de progressão aritmética e conversão de bases.
Passo 2
Para a afirmação (a), “Dados
, se
e
, então
”. Como em qualquer conjunto ordenado total vale a transitividade das desigualdades, de
e
segue
Portanto (a) é verdadeira.
Passo 3
Para a afirmação (b), “Dados
, se
, então
”. Se admitirmos
, a lei de cancelamento falha quando
. Um contra-exemplo é
Então
mas
. Logo (b) é falsa.
Passo 4
Para a afirmação (c), “
para todo
”. A soma dos primeiros
naturais é
que não coincide em geral com
. Por exemplo, para
temos
mas
. Logo (c) é falsa.
Passo 5
Para a afirmação (d), “
”. Convertendo para base decimal:
Como
, (d) é verdadeira.
Passo 6
Para a afirmação (e), “
”. Convertendo:
Como
, (e) é falsa.
Resposta
(a) V
(b) F
(c) F
(d) V
(e) F
(b) F
(c) F
(d) V
(e) F