Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras(V) ou falsas (F). Demonstre as que julgar verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as que considerar falsas. Justifique seus argumentos com consistência.
(a) Dados m, n, p in N, se m<n e n <= p, então m<p.
(b) Dados m, n, p in N, se m p=n p, então m=n.
(c) 1+2+3+cdots+2 n=n(n+1) para todo n >= 1.
(d) (45)6>(26)8.
(e) (111)8=(222)4.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada uma das afirmações de (a) a (e) como verdadeira ou falsa. Para as verdadeiras, devemos demonstrar; para as falsas, fornecer um contra-exemplo. Vamos usar conceitos de ordenação em N, lei de cancelamento na multiplicação, soma de progressão aritmética e conversão de bases.

Passo 2

Para a afirmação (a), “Dados m,n,pinN, se m<n e n<= p, então m<p”. Como em qualquer conjunto ordenado total vale a transitividade das desigualdades, de
m < n
e
n <= p
segue
m < p
Portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

Para a afirmação (b), “Dados m,n,pinN, se mp = np, então m=n”. Se admitirmos 0inN, a lei de cancelamento falha quando p=0. Um contra-exemplo é
m = 1, n = 2, p = 0
Então
1cdot0 = 0 = 2cdot0
mas 1neq2. Logo (b) é falsa.

Passo 4

Para a afirmação (c), “ 1+2+3+cdots+2n = n(n+1) para todo n>=1”. A soma dos primeiros 2n naturais é
1+2+cdots+2n = 2n,(2n+1)2 = n(2n+1),
que não coincide em geral com n(n+1). Por exemplo, para n=1 temos 1+2=3 mas 1cdot2=2. Logo (c) é falsa.

Passo 5

Para a afirmação (d), “ (45)6 > (26)8”. Convertendo para base decimal:
(45)6 = 4cdot6 +5 =24+5 =29,
(26)8 = 2cdot8 +6 =16+6 =22
Como 29>22, (d) é verdadeira.

Passo 6

Para a afirmação (e), “ (111)8 = (222)4”. Convertendo:
(111)8 = 1cdot8^2 +1cdot8 +1 =64+8+1 =73,
(222)4 = 2cdot4^2 +2cdot4 +2 =2cdot16+8+2 =32+8+2 =42
Como 73neq42, (e) é falsa.

Resposta

(a) V
(b) F
(c) F
(d) V
(e) F

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