Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
∬R y d A, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2=9 e as retas y=x e y=0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral dupla integral duplaR y , dA , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2 + y^2 = 9 , pela reta y = x e pelo eixo y = 0 . A gente vai usar coordenadas polares para facilitar a conta. Então, precisamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares e quais são os limites de integração nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R . É o primeiro quadrante, então x >= 0 e y >= 0 . O círculo x^2 + y^2 = 9 tem raio 3. A reta y = x no primeiro quadrante vai de (0,0) até (raiz4.5, raiz4.5) , mas como estamos limitados pelo círculo, o ponto de interseção é quando x = y e x^2 + x^2 = 9 , ou seja, x = 3raiz2 .

Passo 3

Agora, vamos converter y para coordenadas polares. Lembrando que y = r sin(theta) e dA = r , dr , dtheta . Então, a integral fica:
integral duplaR y , dA = integral duplaR r sin(theta) cdot r , dr , dtheta = integral duplaR r^2 sin(theta) , dr , dtheta

Passo 4

Precisamos definir os limites de integração para r e theta . No primeiro quadrante, theta vai de 0 a pi4 (porque y = x corresponde a theta = pi4 ). Para r , vai de 0 até o raio do círculo, que é 3.

Passo 5

Agora podemos escrever a integral com os limites definidos:
integral0^pi4 integral0^3 r^2 sin(theta) , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r :
integral0^3 r^2 , dr = [ r^33 ]0^3 = 273 - 0 = 9

Passo 7

Agora, a integral fica:
9 integral0^pi4 sin(theta) , dtheta
Vamos resolver essa integral em relação a theta :
integral sin(theta) , dtheta = -cos(theta)
Então:
9 [ -cos(theta) ]0^pi4 = 9 ( -cos(pi4) + cos(0) )

Passo 8

Sabemos que cos(pi4) = raiz22 e cos(0) = 1 . Substituindo:
9 ( -raiz22 + 1 ) = 9 ( 1 - raiz22 ) = 9 cdot 2 - raiz22 = 9(2 - raiz2)2

Resposta

A integral integral duplaR y , dA vale 9(2 - raiz2)2 .

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