Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
as retas
e
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
, pela reta
e pelo eixo
. A gente vai usar coordenadas polares para facilitar a conta. Então, precisamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares e quais são os limites de integração nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. É o primeiro quadrante, então
e
. O círculo
tem raio 3. A reta
no primeiro quadrante vai de
até
, mas como estamos limitados pelo círculo, o ponto de interseção é quando
e
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos converter
para coordenadas polares. Lembrando que
e
. Então, a integral fica:
Passo 4
Precisamos definir os limites de integração para
e
. No primeiro quadrante,
vai de
a
(porque
corresponde a
). Para
, vai de 0 até o raio do círculo, que é 3.
Passo 5
Agora podemos escrever a integral com os limites definidos:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos resolver essa integral em relação a
:
Então:
Passo 8
Sabemos que
e
. Substituindo:
Resposta
A integral
vale
.