Demonstre que a equaçâo -x^3+4 x+1=0 tem pelo menos uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a equação
-,x^3 + 4,x + 1 = 0
tem pelo menos uma raiz real.
O conteúdo principal é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que afirma que se uma função contínua f toma valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = -,x^3 + 4,x + 1
Como f é um polinômio, ela é contínua em todo R. Para aplicar o TVI, vamos buscar dois pontos a e b tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos.

Passo 3

Escolhemos a = 0 e b = 2 e calculamos:
f(0) = -,0^3 + 4cdot 0 + 1 = 1 > 0,
f(2) = -,2^3 + 4cdot 2 + 1 = -8 + 8 + 1 = 1 > 0
Ainda não há troca de sinal. Vamos então tomar b=3:
f(3) = -,3^3 + 4cdot 3 + 1 = -27 + 12 + 1 = -14 < 0
Agora f(0)>0 e f(3)<0, ou seja, sinal oposto.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f é contínua em [0,3] e f(0)cdot f(3) < 0, existe pelo menos um cin(0,3) tal que
f(c) = 0

Resposta

Pelo TVI, a equação -x^3+4x+1=0 tem pelo menos uma raiz real em (0,3).

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