• Questão 5.
    (EXTRA - 2,0 pt) Encontre a soluçāo geral da equação diferencial
y^prime prime-y^prime-6 y=0
sabendo que varphi1(x)=e^3 x e varphi2(x)=e^-2 x são soluções da equação.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 6y = 0
Sabemos que varphi1(x)=e^3x e varphi2(x)=e^-2x são soluções. Vamos usar o método do polinômio característico e o princípio da superposição de soluções lineares independentes.

Passo 2

Procuramos soluções da forma y=e^rx. Substituindo em
y'' - y' - 6y = 0
vem
r^2e^rx - re^rx - 6e^rx = 0 Longrightarrow r^2 - r - 6 = 0
Resolvendo r^2 - r - 6=0 por soma e produto ou fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes
r1=3, r2=-2

Passo 3

Como as raízes são distintas, duas soluções fundamentais independentes são
varphi1(x)=e^3x e varphi2(x)=e^-2x. Pelo princípio da superposição, a solução geral é
y(x)=C1,e^3x + C2,e^-2x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C1,e^3x + C2,e^-2x

Exercícios relacionados