• Questão 2: Sejam U e W os seguintes subespaços de R^4 :
U=(a, b, c, d) ; b+c+d=0 W=(a, b, c, d) ; a+b=0 ; c=2 d
Ache uma base e a dimensão de
a) U
b) W
c) U-W
d) U+W

Passo 1

O enunciado define em R^4 os subespaços
U=(a,b,c,d)mid b+c+d=0, W=(a,b,c,d)mid a+b=0,;c=2d,
e pede base e dimensão de (a) U, (b) W, (c) Ucap W e (d) U+W. Vamos usar parametrização por incógnitas livres, achar geradores, verificar independência linear e aplicar a fórmula
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)

Passo 2

Analisando Ucolon b+c+d=0. Podemos tomar como parâmetros a,,c,,d livres e escrever
b=-c-d,
logo
(a,b,c,d) = a,(1,0,0,0) ;+; c,(0,-1,1,0);+; d,(0,-1,0,1)
Esses três vetores são LI, logo uma base de U é
(1,0,0,0),;(0,-1,1,0),;(0,-1,0,1),
e dim U=3.

Passo 3

Em Wcolon a+b=0,;c=2d. Tomando a,d como parâmetros livres, temos
b=-a, c=2d,
logo
(a,b,c,d) = a,(1,-1,0,0) ;+; d,(0,0,2,1)
Esses dois vetores são LI, logo uma base de W é
(1,-1,0,0),;(0,0,2,1),
e dim W=2.

Passo 4

Para achar Ucap W, impomos simultaneamente as condições de U e de W. De W vem b=-a e c=2d; de U vem
b+c+d=0 ;Longrightarrow; -a + 2d + d=0 ;Longrightarrow; a=3d,;b=-3d,;c=2d
Logo
(a,b,c,d)=d,(3,-3,2,1),
e uma base de Ucap W é (3,-3,2,1). Assim dim(Ucap W)=1.

Passo 5

Pela fórmula da dimensão da soma,
dim(U+W)=dim U + dim W - dim(Ucap W) =3 + 2 - 1 = 4
Como dim(U+W)=4 e U+WsubseteqR^4, segue U+W=R^4. Uma base natural é a base canônica
(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1).

Resposta

a) Base de U: (1,0,0,0),,(0,-1,1,0),,(0,-1,0,1), dim U=3.
b) Base de W: (1,-1,0,0),,(0,0,2,1), dim W=2.
c) Base de Ucap W: (3,-3,2,1), dim(Ucap W)=1.
d) U+W=R^4, base por exemplo (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1), dim(U+W)=4.

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