Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
∬substackD 1(1+x^2+y^2)^3 / 2 d A, onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo x^2+y^2=16

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular a integral dupla
integral duplaD1(1+x^2+y^2)^3/2,dA
onde D é o pedaço do primeiro quadrante dentro do círculo x^2+y^2=16.
Conteúdo: coordenadas polares e integrais duplas.
O que vamos precisar:
• Entender a troca de (x,y) para (r,theta) via
;x=rcostheta,;y=rsintheta.
• Saber que, nessa troca, o elemento de área dA vira r,dr,dtheta (esse r é o “Jacobiando” da área).
• Fazer a integral em duas etapas: primeiro em r usando substituição, depois em theta.

Passo 2

Vamos traduzir a integral para polares.
  • x^2+y^2 vira r^2.
  • A região D é 0<= r<= 4 e 0<=theta<= pi2.
  • O integrando 1(1+x^2+y^2)^3/2 vira 1(1+r^2)^3/2.
  • E dA = r,dr,dtheta.
Então a integral fica
integraltheta=0^pi/2integralr=0^4 r(1+r^2)^3/2,dr,dtheta

Passo 3

Agora a gente resolve a parte em r:
integral0^4r(1+r^2)^3/2,dr
Usa substituição u = 1+r^2, daí du = 2r,dr ou r,dr = tfrac12,du.
Quando r=0, u=1; quando r=4, u=17.
Então
integral0^4r(1+r^2)^3/2,dr = 12integral1^17u^-3/2,du
E a primitiva de u^-3/2 é -2,u^-1/2. Logo
12l[-2u^-1/2r]1^17 = -l[u^-1/2r]1^17 = -l(tfrac1raiz17-1r) = 1 - tfrac1raiz17

Passo 4

Aí sobra só integrar em theta:
integral0^pi/2dtheta = pi2
Como as duas integrais se separam, o resultado total é
l(1 - tfrac1raiz17r),timespi2

Resposta

pi2l(1 - 1raiz17r)

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