Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra calcular a integral dupla
onde é o pedaço do primeiro quadrante dentro do círculo
.
Conteúdo: coordenadas polares e integrais duplas.
O que vamos precisar:
• Entender a troca de para
via
.
• Saber que, nessa troca, o elemento de área vira
(esse
é o “Jacobiando” da área).
• Fazer a integral em duas etapas: primeiro em usando substituição, depois em
.
onde
Conteúdo: coordenadas polares e integrais duplas.
O que vamos precisar:
• Entender a troca de
• Saber que, nessa troca, o elemento de área
• Fazer a integral em duas etapas: primeiro em
Passo 2
Vamos traduzir a integral para polares.
-
vira . - A região
é e . - O integrando
vira . - E
.
Então a integral fica
Passo 3
Agora a gente resolve a parte em
:
Usa substituição
, daí
ou
.
Quando ,
; quando
,
.
Então
Quando
Então
E a primitiva de
é
. Logo
Passo 4
Aí sobra só integrar em
:
Como as duas integrais se separam, o resultado total é