Resolva os problemas de valor inicial a seguir:
3 y^(3)+2 y^prime prime=0 ; y(0)=-1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial para a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
3,y^(3)(t) + 2,y''(t) = 0
com condições iniciais y(0)=-1, y'(0)=0, y''(0)=1. Para resolver, vamos montar a equação característica, encontrar suas raízes, escrever a solução geral e depois ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Substituindo y=e^rt na equação, obtemos a equação característica
3,r^3 + 2,r^2 = 0
Fatorando r^2, vem
r^2,(3r + 2) = 0,
logo as raízes são r=0 (multiplicidade 2) e r=-tfrac23.

Passo 3

Pelas raízes repetidas e simples, a solução geral é
y(t) = C1 + C2,t + C3,e^-tfrac23t

Passo 4

Calculamos as derivadas para aplicar as condições iniciais:
y'(t) = C2 - tfrac23,C3,e^-tfrac23t, y''(t) = tfrac49,C3,e^-tfrac23t
Em t=0, as condições dão
y(0)=C1 + C3 = -1, y'(0)=C2 - tfrac23C3 = 0, y''(0)=tfrac49C3 = 1

Passo 5

Da última equação vem
C3 = tfrac94
Substituindo em y'(0)=0 obtemos
C2 = tfrac23,C3 = tfrac23cdottfrac94 = tfrac32
E em y(0)=-1 resulta
C1 = -1 - C3 = -1 - tfrac94 = -tfrac134

Resposta

y(t) = -tfrac134 + tfrac32,t + tfrac94,e^-tfrac23t

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