Resolva os problemas de valor inicial a seguir:
y^prime prime-6 y^prime+25 y=0 ; y(0)=3, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y'' - 6y' + 25y = 0, y(0)=3,;y'(0)=1
Esse é um EDO linear homogêneo de coeficientes constantes. Vamos usar o polinômio característico para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes pelos dados iniciais.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado:
r^2 - 6r + 25 = 0
O discriminante é
De<a = (-6)^2 - 4cdot1cdot25 = 36 - 100 = -64,
logo as raízes são
r = 6 pm raiz-642 = 3 pm 4,i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas 3pm4,i, a solução geral é
y(x) = e^3xl(C1cos(4x) + C2sin(4x)r)

Passo 4

Usando y(0)=3 temos
y(0) = e^0l(C1cos0 + C2sin0r) = C1 = 3
Portanto C1 = 3.

Passo 5

Agora calculamos y'(x) por regra do produto:
y'(x) = e^3xl[3l(C1cos4x + C2sin4xr) +l(-4C1sin4x + 4C2cos4xr)r]
Em x=0:
y'(0) = 3C1 + 4C2 = 1
Já sabemos C1=3, então
3cdot3 + 4C2 = 1 Longrightarrow 9 + 4C2 = 1 Longrightarrow 4C2 = -8 Longrightarrow C2 = -2

Resposta

boxedy(x) = e^3xl(3cos(4x) - 2sin(4x)r)

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