Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da partícula cujo o movimento seja dado pelo vetor posição r(t) no valor determinado de t.
r(t)=(sec (t), tg(t), 43 t) ; t=pi6

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição
r(t)=l(sec t,;tan t,;tfrac43tr)
e pede a velocidade v(t)=r'(t), o módulo |v(t)| e a aceleração a(t)=r''(t) no instante t=tfracpi6. Vamos usar derivação componente a componente e a fórmula da norma de um vetor em R^3.

Passo 2

Derivando cada componente de r(t) obtemos
v(t)=r'(t)=l(sec ttan t,;sec^2 t,;tfrac43r)

Passo 3

O módulo de v(t) é
|v(t)|=raiz(sec ttan t)^2+(sec^2 t)^2+l(tfrac43r)^2

Passo 4

Derivando novamente geramos a aceleração
a(t)=r''(t) =l(tfracddt[sec ttan t],;tfracddt[sec^2 t],;0r) =l(sec t,(1+2tan^2 t),;2sec^3 ttan t,;0r)

Passo 5

No instante t=tfracpi6 temos
sec!tfracpi6=2raiz3, tan!tfracpi6=1raiz3
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vl(tfracpi6r) =l(2raiz3cdot1raiz3,;43,;43r) =l(23,;43,;43r),
|v(tfracpi6)| =raizl(tfrac23r)^2+l(tfrac43r)^2+l(tfrac43r)^2 =raiz4+16+169 =raiz4=2,
al(tfracpi6r) =l(2raiz3l(1+2cdottfrac13r),;2l(tfrac2raiz3r)^3cdot1raiz3,;0r) =l(103raiz3,;169,;0r)

Resposta

vl(tfracpi6r)=l(tfrac23,;tfrac43,;tfrac43r), |v(tfracpi6)|=2, al(tfracpi6r)=l(tfrac103raiz3,;tfrac169,;0r)

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