Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplae x y d A, onde R é a região do primeiro quadrante compreendida entre os circulos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=25

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaR x y , dA, onde a região R está no primeiro quadrante, entre os círculos x^2 + y^2 = 4 e x^2 + y^2 = 25. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo de integrais duplas em coordenadas polares. Para isso, vamos precisar transformar as coordenadas cartesianas (x, y) em coordenadas polares (r, theta) e ajustar os limites de integração conforme a região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para polares. As fórmulas são:
x = r cos theta e y = r sin theta
Além disso, o elemento de área dA em coordenadas polares é dado por:
dA = r , dr , dtheta
Isso significa que, ao mudar para coordenadas polares, precisamos multiplicar a expressão original por r.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. A região R está no primeiro quadrante, então o ângulo theta varia de 0 a pi2. Quanto ao raio r, ele está entre os círculos x^2 + y^2 = 4 e x^2 + y^2 = 25, o que corresponde a:
2 <= r <= 5

Passo 4

Vamos reescrever a função xy em coordenadas polares usando as conversões que mencionamos:
xy = (r cos theta)(r sin theta) = r^2 sin theta cos theta
Então, a integral original fica:
integral duplaR x y , dA = integral duplaR r^2 sin theta cos theta cdot r , dr , dtheta = integral duplaR r^3 sin theta cos theta , dr , dtheta

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo junto na integral com os limites definidos:
integral0^pi2 integral2^5 r^3 sin theta cos theta , dr , dtheta
Essa integral dupla pode ser separada em duas integrais simples porque as variáveis r e theta são independentes.

Passo 6

Vamos resolver a integral em r primeiro:
integral2^5 r^3 , dr = [ r^44 ]2^5 = 5^44 - 2^44 = 6254 - 164 = 6094

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em theta:
integral0^pi2 sin theta cos theta , dtheta
Podemos usar a substituição u = sin theta, então du = cos theta , dtheta. A integral fica:
integral0^1 u , du = [ u^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12

Passo 8

Finalmente, multiplicamos os resultados das duas integrais:
6094 times 12 = 6098

Resposta

O valor da integral é 6098.

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