Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região do primeiro quadrante compreendida entre os circulos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
, onde a região
está no primeiro quadrante, entre os círculos
e
. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo de integrais duplas em coordenadas polares. Para isso, vamos precisar transformar as coordenadas cartesianas
em coordenadas polares
e ajustar os limites de integração conforme a região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para polares. As fórmulas são:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por:
Isso significa que, ao mudar para coordenadas polares, precisamos multiplicar a expressão original por
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. A região
está no primeiro quadrante, então o ângulo
varia de
a
. Quanto ao raio
, ele está entre os círculos
e
, o que corresponde a:
Passo 4
Vamos reescrever a função
em coordenadas polares usando as conversões que mencionamos:
Então, a integral original fica:
Passo 5
Agora, vamos colocar tudo junto na integral com os limites definidos:
Essa integral dupla pode ser separada em duas integrais simples porque as variáveis
e
são independentes.
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral em
:
Podemos usar a substituição
, então
. A integral fica:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral é
.