1.4 Determine todas as assíntotas (verticais e horizontais) do gráfico da função
. Faça um esboço do gráfico desta função.
Passo 1
O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
e em seguida um esboço do gráfico. Para isso vamos usar limites para identificar as retas às quais o gráfico se aproxima e depois combinar com o sinal de
para desenhar os ramos.
Passo 2
Determinar o domínio e a assíntota vertical.
O radicando é sempre positivo, mas o denominador anula em
. Logo o domínio é
O radicando
Calculando os limites laterais em
:
Como o valor de
explode para
quando
, existe uma assíntota vertical
Passo 3
Determinar as assíntotas horizontais pelos limites em
.
Para temos
, logo
Para
Para
aparece
, pois
, daí
Portanto há duas assíntotas horizontais:
Passo 4
Analisar o sinal e o comportamento em pontos estratégicos para guiar o esboço.
- Para
, o numerador é positivo e o denominador , então . - Em
, . - Em
, . - Ex.:
, bem acima de .
- Em
- Para
, o numerador continua positivo mas , logo . - Em
, . - Em
, (isto é, se aproxima de por cima). - Ex.:
, entre as retas e .
- Em
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico.
- Trace linhas tracejadas em
, e . - Para
: desenhe um ramo que sai de em , decresce sempre acima de e se nivela, aproximando-se de quando . - Para
: desenhe um ramo que sai de em , sobe até passar por e depois se aproxima lentamente de quando .
Resposta
Assíntotas verticais:
Assíntotas horizontais: