1.4 Determine todas as assíntotas (verticais e horizontais) do gráfico da função f(x)=raizx^2+1x-2. Faça um esboço do gráfico desta função.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=raizx^2+1x-2
e em seguida um esboço do gráfico. Para isso vamos usar limites para identificar as retas às quais o gráfico se aproxima e depois combinar com o sinal de f para desenhar os ramos.

Passo 2

Determinar o domínio e a assíntota vertical.
O radicando x^2+1 é sempre positivo, mas o denominador anula em x=2. Logo o domínio é
xinRmid xneq2
Calculando os limites laterais em x=2:
limxto2^+f(x) =limxto2^+raizx^2+1x-2 =raiz4+10^+=+infty,
limxto2^-f(x) =raiz50^-=-infty
Como o valor de f(x) explode para pminfty quando xto2, existe uma assíntota vertical
x=2

Passo 3

Determinar as assíntotas horizontais pelos limites em pminfty.
Para xto+infty temos raizx^2+1=xraiz1+1/x^2=xl(1+O(1/x^2)r), logo
limxto+inftyf(x) =limxto+inftyx,x-2, =limxto+infty11-2/x =1
Para xto-infty aparece raizx^2+1=-xl(1+O(1/x^2)r), pois |x|=-x, daí
limxto-inftyf(x) =limxto-infty-x,x-2, =-1
Portanto há duas assíntotas horizontais:
y=1 e y=-1

Passo 4

Analisar o sinal e o comportamento em pontos estratégicos para guiar o esboço.
  1. Para x>2, o numerador é positivo e o denominador x-2>0, então f(x)>0.
    • Em xto2^+, f(x)to+infty.
    • Em xto+infty, f(x)to1^+.
    • Ex.: f(3)=raiz10/1approx3,16, bem acima de y=1.
  2. Para x<2, o numerador continua positivo mas x-2<0, logo f(x)<0.
    • Em xto2^-, f(x)to-infty.
    • Em xto-infty, f(x)to-1^+ (isto é, se aproxima de -1 por cima).
    • Ex.: f(0)=1/(-2)=-0,5, entre as retas y=0 e y=-1.

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico.
  • Trace linhas tracejadas em x=2, y=1 e y=-1.
  • Para x>2: desenhe um ramo que sai de +infty em x=2^+, decresce sempre acima de y=1 e se nivela, aproximando-se de y=1 quando xto+infty.
  • Para x<2: desenhe um ramo que sai de -infty em x=2^-, sobe até passar por (0,-0,5) e depois se aproxima lentamente de y=-1 quando xto-infty.

Resposta

Assíntotas verticais:
x=2
Assíntotas horizontais:
y=1, y=-1

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