1. sumk=0^infty(-1)^k x^2 k(2 k)!=1-x^22!+x^44!-x^66!+ldots

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série de potências
sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k)!
O conteúdo aqui é séries de potências e desenvolvimentos em série de Taylor/Maclaurin. Para resolver, basta reconhecer esse desenvolvimento em série numa função elementar conhecida.

Passo 2

Conhecemos as séries de Maclaurin das funções exponencial, cosseno e seno:
e^x=sumn=0^inftyx^nn!, cos(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!, sin(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!
Na série dada só aparecem potências pares de x e sinais alternados, exatamente como em cos(x).

Passo 3

Logo, a soma da série é
sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k)! = cos(x)
Além disso, seu raio de convergência é infinito, ou seja, a igualdade vale para todo xinR.

Resposta

cos(x)

Exercícios relacionados