Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
∬R raizx^2+y^2 d A, onde R=(x, y) mid 1 <= x^2+y^2 <= 9, y >= 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral duplaRraizx^2+y^2 dA
sobre a região
R=(x,y)mid 1<= x^2+y^2<=9, y>=0
O conteúdo da matéria é mudança para coordenadas polares, onde usaremos
x=rcostheta, y=rsintheta,
a transformação do elemento de área dA=r,dr,dtheta e a expressão raizx^2+y^2=r.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
raizx^2+y^2=r,
e o elemento de área
dA=r,dr,dtheta
A região R torna-se
1<= r^2<=9 Longrightarrow 1<= r<=3,
e y>=0 thetain[0,pi].

Passo 3

Então a integral fica
integral duplaRraizx^2+y^2 dA =integraltheta=0^piintegralr=1^3rl(r,dr,dthetar) =integral0^piintegral1^3r^2,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a parte radial:
integral1^3r^2,dr =[r^33]1^3 =3^3-1^33 =27-13 =263

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^pi!dtheta =pi
Multiplicando, obtemos
integral duplaRraizx^2+y^2 dA =picdot263 =26pi3

Resposta

26pi3

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