• Questão 4: Determine se as matrizes
A=[ll 1 & 1 0 & 0 ] ; B=[ll 0 & 1 1 & 0 ] ; C=[cc 0 & 0 -1 & -1 ] e D=[cc 0 & 0 0 & -1 ]
formam uma base de M(2 times 2).

Passo 1

O enunciado apresenta quatro matrizes em M2times2:
A=1 & 1 0 & 0, B=0 & 1 1 & 0, C=0 & 0 -1 & -1, D=0 & 0 0 & -1
Como diml(M2times2r)=4, basta mostrar que essas 4 matrizes são linearmente independentes para concluir que formam uma base.

Passo 2

Considere a combinação linear nula
alpha A + beta B + gamma C + de<a D ;=; alpha & alpha 0 & 0 + 0 & beta [6pt] beta & 0 + 0 & 0 [3pt] -gamma & -gamma + 0 & 0 [3pt] 0 & -de<a = 0 & 0 [3pt] 0 & 0
Isso gera o sistema de equações para os coeficientes:
alpha = 0, alpha + beta = 0, beta - gamma = 0, -gamma - de<a = 0 ]

Passo 3

Resolvendo o sistema:
da primeira equação vem alpha=0;
da segunda, beta=-alpha=0;
da terceira, gamma=beta=0;
da quarta, de<a=-gamma=0.
Logo alpha=beta=gamma=de<a=0, isto é, só existe combinação trivial, e as matrizes são linearmente independentes. Como há 4 vetores independentes em espaço de dimensão 4, eles formam uma base de M2times2.

Resposta

Sim, A, B, C e D formam uma base de M2times2.

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