Encontre os pontos onde a função é descontínua e faça o esboço do gráfico onde
Passo 1
O enunciado define uma função por partes
f(x)= x^2,&x<-1, x,&-1<= x<1, dfrac1x,&x>=1,
e pede os pontos de descontinuidade e o esboço do gráfico. O conteúdo aqui é análise de continuidade em funções piecewise e interpretação gráfica de cada ramo.
Passo 2
Em cada intervalo interno de definição a função é composta por expressões contínuas: ;x^2 é contínua em x<-1;;x é contínua em -1<x<1;;1/x é contínua em x>1. Logo só podem ocorrer descontinuidades em x=-1 e x=1.
Passo 3
Vamos a x=-1.
O limite pela esquerda é
limxto-1^-f(x)=limxto-1^-x^2=(-1)^2=1,
pela direita é
limxto-1^+f(x)=limxto-1^+x=-1,
e o valor f(-1) (no ramo do meio) é -1. Como 1neq -1, há salto em x=-1.
Passo 4
Agora em x=1.
O limite pela esquerda é
limxto1^-f(x)=limxto1^-x=1,
pela direita é
limxto1^+f(x)=limxto1^+1x=11=1,
e f(1)=1. Como todos são iguais, f é contínua em x=1.
Passo 5
Concluímos que a única descontinuidade de f ocorre em x=-1.
Passo 6
Para esboçar o gráfico:
– Para x<-1, desenhe a parábola y=x^2 até quase (-1,1), deixando esse ponto com círculo aberto.
– Em -1<= x<1, trace a reta y=x de (-1,-1) (ponto cheio) até (1,1) (círculo aberto).
– Para x>=1, desenhe y=1/x começando em (1,1) (ponto cheio) e descendo suavemente em direção a zero quando xto+infty.
Resposta
A função é descontínua apenas em x=-1.
O esboço do gráfico reúne:
Ramo parabólico y=x^2 para x<-1 (aberto em (-1,1)).
Reta y=x em [-1,1) (fechado em (-1,-1), aberto em (1,1)).