Encontre as assintotas horizontais, verticais e esboce o gráfico da curva
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função racional
e pede as assíntotas horizontais e verticais, além do esboço do gráfico.
Conteúdo: funções racionais – domínio, assíntotas (verticales e horizontais), divisão de polinômios, interceptos e análise de sinal para desenhar o hiperbola deslocada.
Conteúdo: funções racionais – domínio, assíntotas (verticales e horizontais), divisão de polinômios, interceptos e análise de sinal para desenhar o hiperbola deslocada.
Passo 2
Determinar o domínio e a assíntota vertical.
O denominador anula-se em , ou seja, em
. Logo
O denominador anula-se em
e há uma assíntota vertical em
Passo 3
Calcular o limite quando
para achar a assíntota horizontal.
Como o grau do numerador e do denominador é o mesmo (ambos de grau 1), o limite é a razão dos coeficientes líderes:
Como o grau do numerador e do denominador é o mesmo (ambos de grau 1), o limite é a razão dos coeficientes líderes:
Portanto, a assíntota horizontal é
Passo 4
Fazer a divisão de polinômios para reescrever a função e revelar o centro da hipérbole.
Isso mostra que o gráfico é um ramo de hipérbole com centro em
e assíntotas
e
.
Passo 5
Determinar interceptos e comportamento dos ramos:
– Intercepto em (colocar
):
– Intercepto em
– Intercepto em
(colocar
):
Análise de sinal de
:
- Para
, . - Para
, .
Próximo a, conforme o ramo.
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Trace as retas assíntotas
(vertical) e (horizontal). - Marque o centro
, o intercepto em e em . - Para
, desenhe o ramo da hipérbole abaixo de , passando por e indo a em . - Para
, desenhe o ramo acima de , indo a em e aproximando-se de quando .
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Gráfico: hiperbole com centro em , ramos conforme descrito no passo 6.
Assíntota horizontal:
Gráfico: hiperbole com centro em