Encontre as assintotas horizontais, verticais e esboce o gráfico da curva y=3 x+5x+3.

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
y=3x+5x+3
e pede as assíntotas horizontais e verticais, além do esboço do gráfico.
Conteúdo: funções racionais – domínio, assíntotas (verticales e horizontais), divisão de polinômios, interceptos e análise de sinal para desenhar o hiperbola deslocada.

Passo 2

Determinar o domínio e a assíntota vertical.
O denominador anula-se em x+3=0, ou seja, em x=-3. Logo
domínio=Rsetminus-3, í
e há uma assíntota vertical em
x=-3

Passo 3

Calcular o limite quando xtopminfty para achar a assíntota horizontal.
Como o grau do numerador e do denominador é o mesmo (ambos de grau 1), o limite é a razão dos coeficientes líderes:
limxtopminfty3x+5x+3=31=3
Portanto, a assíntota horizontal é
y=3

Passo 4

Fazer a divisão de polinômios para reescrever a função e revelar o centro da hipérbole.
3x+5x+3 =3-4x+3
Isso mostra que o gráfico é um ramo de hipérbole com centro em (-3,3) e assíntotas x=-3 e y=3.

Passo 5

Determinar interceptos e comportamento dos ramos:
– Intercepto em x (colocar y=0):
3x+5=0implies x=-tfrac53
– Intercepto em y (colocar x=0):
y=53
Análise de sinal de -4/(x+3):
  • Para x>-3, x+3>0implies -4/(x+3)<0implies y<3.
  • Para x<-3, x+3<0implies -4/(x+3)>0implies y>3.
    Próximo a x=-3, ytopminfty conforme o ramo.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  1. Trace as retas assíntotas x=-3 (vertical) e y=3 (horizontal).
  2. Marque o centro (-3,3), o intercepto em x=(-5/3,0) e em y=(0,5/3).
  3. Para x>-3, desenhe o ramo da hipérbole abaixo de y=3, passando por (0,5/3) e indo a -infty em xto-3^+.
  4. Para x<-3, desenhe o ramo acima de y=3, indo a +infty em xto-3^- e aproximando-se de y=3 quando xto-infty.

Resposta

Assíntota vertical: x=-3
Assíntota horizontal: y=3
Gráfico: hiperbole com centro em (-3,3), ramos conforme descrito no passo 6.

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