• Questão 3: Seja alpha=v1, v2, v3, onde v1=(1,1,0), v2=(0,1,-1) e v3=(2,0,2).
    a) alpha é LI ou LD?
    b) Obtenha beta subset alpha tal que beta é independente e que G(beta)=G(alpha).
    c) Qual a dimensão de G(alpha) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define o conjunto de vetores alpha=v1,v2,v3 em R^3, onde
v1=(1,1,0), v2=(0,1,-1), v3=(2,0,2)
Pede-se: (a) verificar se alpha é linearmente independente (LI) ou dependente (LD); (b) extrair um subconjunto betasubsetalpha que seja independente e gere o mesmo espaço G(alpha); (c) determinar a dimensão de G(alpha). Para isso vamos usar combinação linear, resolução de sistemas e definição de base e dimensão.

Passo 2

Testamos dependência montando
c1,v1+c2,v2+c3,v3=0
isto é, o sistema
c1+0cdot c2+2c3=0, c1+c2+0cdot c3=0, 0cdot c1-c2+2c3=0
Da segunda equação vem c2=-c1. Substituindo na primeira ou na terceira obtemos
c1+2c3=0,
que também satisfaz a terceira. Logo existe solução não trivial ( c3 livre), e portanto alpha é linearmente dependente.

Passo 3

Para expor a dependência, tomemos c3=1. Então c1=-2 e c2=2, de onde
-2v1+2v2+1cdot v3=0 Longrightarrow v3=2v1-2v2
Isso mostra explicitamente que v3 está no espaço gerado por v1,v2.

Passo 4

Como v3inspanv1,v2, temos
G(alpha)=G(v1,v2)
Resta verificar que v1,v2 é independente. Se
a,v1+b,v2=0 Longrightarrow (a,;a+b,;-b)=(0,0,0),
então a=0 pela primeira coordenada e b=0 pela terceira. Logo v1,v2 é LI e geradora de G(alpha). Assim podemos escolher
beta=v1,v2

Passo 5

Qualquer base de um espaço vetorial tem número de vetores igual à dimensão desse espaço. Encontramos uma base beta com 2 vetores, logo
dim G(alpha)=2

Resposta

a) alpha é linearmente dependente.
b) Um possível beta é v1,v2.
c) dim G(alpha)=2.

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