Questão 3: Seja , onde e .
a) é LI ou LD?
b) Obtenha tal que é independente e que .
c) Qual a dimensão de ? Justifique.
Passo 1
O enunciado define o conjunto de vetores em , onde
Pede-se: (a) verificar se é linearmente independente (LI) ou dependente (LD); (b) extrair um subconjunto que seja independente e gere o mesmo espaço ; (c) determinar a dimensão de . Para isso vamos usar combinação linear, resolução de sistemas e definição de base e dimensão.
Passo 2
Testamos dependência montando
isto é, o sistema
Da segunda equação vem c2=-c1. Substituindo na primeira ou na terceira obtemos
c1+2c3=0,
que também satisfaz a terceira. Logo existe solução não trivial (c3 livre), e portanto alpha é linearmente dependente.
Passo 3
Para expor a dependência, tomemos c3=1. Então c1=-2 e c2=2, de onde
-2v1+2v2+1cdot v3=0 Longrightarrow v3=2v1-2v2
Isso mostra explicitamente que v3 está no espaço gerado por v1,v2.
Passo 4
Como v3inspanv1,v2, temos
G(alpha)=G(v1,v2)
Resta verificar que v1,v2 é independente. Se
a,v1+b,v2=0 Longrightarrow (a,;a+b,;-b)=(0,0,0),
então a=0 pela primeira coordenada e b=0 pela terceira. Logo v1,v2 é LI e geradora de G(alpha). Assim podemos escolher
beta=v1,v2
Passo 5
Qualquer base de um espaço vetorial tem número de vetores igual à dimensão desse espaço. Encontramos uma base beta com 2 vetores, logo
dim G(alpha)=2
Resposta
a) alpha é linearmente dependente.
b) Um possível beta é v1,v2.
c) dim G(alpha)=2.