Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
∬D raizx^2+y^2 d A, onde D é a região limitada pela cardioide r=4+cos theta

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral duplaD raizx^2+y^2;dA
onde D é a região limitada pela cardioide r=4+costheta. O conteúdo principal é a mudança para coordenadas polares, já que a integral envolve raizx^2+y^2.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
logo
raizx^2+y^2 = r,
e o elemento de área
dA = r,dr,dtheta

Passo 3

Substituindo na integral, r varia de 0 a 4+costheta e theta de 0 a 2pi. Assim
integral duplaD raizx^2+y^2;dA = integral0^2piintegral0^4+costheta r,(r,dr,dtheta) = integral0^2piintegral0^4+costheta r^2,dr,dtheta

Passo 4

Calcule primeiro a integral interna em r:
integral0^4+costhetar^2,dr =l[tfracr^33r]0^4+costheta =tfrac13(4+costheta)^3
Logo a integral vira
13integral0^2pi(4+costheta)^3,dtheta

Passo 5

Expanda (4+costheta)^3:
(4+costheta)^3 =64+48costheta+12cos^2theta+cos^3theta
Use
integral0^2picostheta,dtheta=0, integral0^2picos^2theta,dtheta=pi, integral0^2picos^3theta,dtheta=0
Então
integral0^2pi(4+costheta)^3dtheta = integral0^2pi(64+12cos^2theta),dtheta =64cdot2pi +12cdotpi =128pi+12pi =140pi

Resposta

integral duplaDraizx^2+y^2,dA =13,140pi =140pi3

Exercícios relacionados