Questão 1.
( 2,5 pt ) Resolvi o problema de valor inicial abaixo:
l y^prime=2 x y+x raiz1+e^-x^3 y(0)=2 raiz83

Passo 1

Vamos dar uma resumida: a equação é de primeira ordem e linear, do tipo y' - 2x,y = xraiz1+e^-x^3. O conteúdo é resolução de EDO linear usando fator integrante.

Passo 2

Precisamos achar o fator integrante . Como o coeficiente de é , temos

Passo 3

Multiplicamos a equação original por e^-x^2 e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
ddxl(e^-x^2yr)=e^-x^2y'-2x e^-x^2y=e^-x^2,xraiz1+e^-x^3

Passo 4

Agora integramos dos dois lados de 0 a x. No lado esquerdo fica
e^-x^2y-e^0y(0)=integral0^xt e^-t^2raiz1+e^-t^3,dt
Como y(0)=tfrac2raiz83=tfrac4raiz23, obtemos
e^-x^2y=integral0^xt e^-t^2raiz1+e^-t^3,dt+4raiz23

Passo 5

Por fim, isolamos y e escrevemos a solução geral satisfazendo a condição inicial:
y=e^x^2l(4raiz23+integral0^xt e^-t^2raiz1+e^-t^3,dtr)

Resposta

y(x)=e^x^2l(tfrac4raiz23+integral0^xt e^-t^2raiz1+e^-t^3,dtr)

Exercícios relacionados