Questão 3.
Resolva a equaçio diferencial abaixo:
(x^2+y e^x) d x+(e^x+y^3+ln (y)) d y=0

Passo 1

Precisamos resolver a equação diferencial
(x^2+y e^x),dx+(e^x+y^3+ln(y)),dy=0
que pertence à classe de equações exatas. Vamos verificar a exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial psi(x,y) cujo diferencial total seja igual à equação dada.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=x^2+y e^x,
N(x,y)=e^x+y^3+ln(y)
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=e^x,
partial Npartial x=e^x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M(x,y)
e
partial psipartial y=N(x,y)
Para encontrar psi, integramos M em relação a x:

Passo 4

Ao integrar
integral (x^2+y e^x),dx=x^33+y e^x+h(y),
cujos termos dependentes apenas de y entram como função arbitrária h(y). Logo,
psi(x,y)=x^33+y e^x+h(y)

Passo 5

Agora impomos
partial psipartial y=e^x+h'(y)
que deve ser igual a N(x,y)=e^x+y^3+ln(y). Assim,
h'(y)=y^3+ln(y)
Integramos em y:

Passo 6

Calculamos
h(y)=integral(y^3+ln(y)),dy=y^44+yln(y)-y y+C,
o que nos dá (ignorando a constante isolada)

Passo 7

Reunindo tudo, a função potencial é
psi(x,y)=x^33+y e^x+y^44+yln(y)-y
A solução geral da equação diferencial exata vem de
psi(x,y)=C,
com C constante.

Passo 8

Pronto! Essa expressão implícita é a solução geral da equação diferencial proposta.

Resposta

x^33+y e^x+y^44+yln(y)-y=C

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