Questão 3.
Resolva a equaçio diferencial abaixo:
Resolva a equaçio diferencial abaixo:
Passo 1
Precisamos resolver a equação diferencial
que pertence à classe de equações exatas. Vamos verificar a exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial
cujo diferencial total seja igual à equação dada.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Por ser exata, existe
tal que
e
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Passo 4
Ao integrar
cujos termos dependentes apenas de
entram como função arbitrária
. Logo,
Passo 5
Agora impomos
que deve ser igual a
. Assim,
Integramos em
:
Passo 6
Calculamos
o que nos dá (ignorando a constante isolada)
Passo 7
Reunindo tudo, a função potencial é
A solução geral da equação diferencial exata vem de
com
constante.
Passo 8
Pronto! Essa expressão implícita é a solução geral da equação diferencial proposta.