Use a Regra da Cadeia para achar d zd t ou d wd t.
w=x e^yz, x=t^2, y=1-y, z=1+2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando a Regra da Cadeia! O enunciado pede para encontrarmos a derivada de w em relação a t , ou seja, dwdt . Para isso, temos as seguintes equações:
w = x e^yz, x = t^2, y = 1 - y, z = 1 + 2t
Vamos precisar entender como derivar funções compostas usando a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação que define y :
y = 1 - y
Somando y dos dois lados:
2y = 1 Rightarrow y = 12
Então, y é uma constante igual a 12 .

Passo 3

Agora, vamos reescrever w usando as expressões de x , y e z :
w = x e^yz = t^2 e^1/21 + 2t
Nosso objetivo é encontrar dwdt .

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas, temos que:
dwdt = ddt ( t^2 ) e^1/21 + 2t + t^2 cdot ddt ( e^1/21 + 2t )
Vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 5

Primeira parte:
ddt ( t^2 ) = 2t
Segunda parte:
ddt ( e^1/21 + 2t ) = e^1/21 + 2t cdot ddt ( 1/21 + 2t )
Derivando o expoente:
ddt ( 1/21 + 2t ) = -1/2 cdot 2(1 + 2t)^2 = -1(1 + 2t)^2
Então,
ddt ( e^1/21 + 2t ) = e^1/21 + 2t cdot ( -1(1 + 2t)^2 )

Passo 6

Agora, juntando tudo:
dwdt = 2t cdot e^1/21 + 2t + t^2 cdot e^1/21 + 2t cdot ( -1(1 + 2t)^2 )
Podemos fatorar e^1/21 + 2t :
dwdt = e^1/21 + 2t ( 2t - t^2(1 + 2t)^2 )

Resposta

A derivada de w em relação a t é:
dwdt = e^1/21 + 2t ( 2t - t^2(1 + 2t)^2 )

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