Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
sujeita à condição inicial
. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, buscar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
satisfazendo
e
. Integramos
em relação a
:
Para determinar
, usamos
:
O
pode ser absorvido na constante geral da solução.
Passo 4
A função potencial completa é
e, portanto, a solução geral implícita é
Passo 5
Aplicando a condição inicial
, temos ao substituir
,
:
Logo a solução particular implícita é
Passo 6
Se quisermos a forma explícita
, nota-se que a equação resultante é quadrática em
:
Pela fórmula de Bhaskara,
Como
, escolhe-se o sinal “
”, obtendo
Resposta
A solução implícita sujeita à condição inicial é
e a forma explícita escolhendo o ramo que satisfaz
é