Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
(4 y+2 x-5) d x+(6 y+4 x-1) d y=0, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(4y+2x-5),dx+(6y+4x-1),dy=0
sujeita à condição inicial y(0)=0. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, buscar uma função potencial psi(x,y) tal que dpsi=0.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=4y+2x-5, N(x,y)=6y+4x-1
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=4, partial Npartial x=4
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos psi(x,y) satisfazendo
psix=M e psiy=N. Integramos M em relação a x:
psi(x,y)=integral(4y+2x-5),dx=4yx+x^2-5x+h(y)
Para determinar h(y), usamos psiy=N:
psiy=4x+h'(y)=6y+4x-1 Longrightarrow h'(y)=6y-1 Longrightarrow h(y)=3y^2-y+C1
O C1 pode ser absorvido na constante geral da solução.

Passo 4

A função potencial completa é
psi(x,y)=x^2+4xy-5x+3y^2-y
e, portanto, a solução geral implícita é
x^2+4xy-5x+3y^2-y=C

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=0, temos ao substituir x=0, y=0:
0+0-0+0-0=C Longrightarrow C=0
Logo a solução particular implícita é
x^2+4xy-5x+3y^2-y=0

Passo 6

Se quisermos a forma explícita y=y(x), nota-se que a equação resultante é quadrática em y:
3y^2+(4x-1)y+(x^2-5x)=0
Pela fórmula de Bhaskara,
y(x) =1-4xpmraiz(4x-1)^2-12(x^2-5x)6 =1-4xpmraiz4x^2+52x+16
Como y(0)=0, escolhe-se o sinal “ -”, obtendo
y(x)=1-4x-raiz4x^2+52x+16

Resposta

A solução implícita sujeita à condição inicial é
x^2+4xy-5x+3y^2-y=0,
e a forma explícita escolhendo o ramo que satisfaz y(0)=0 é
y(x)=1-4x-raiz4x^2+52x+16

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