Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
\int_{C}(2 \bar{z}-z) d z, onde C é x=-t, y=t^{2}+2,0 \leq t \leq 2.

Passo 1

Vamos recapitular: queremos calcular a integral integralC(2bar z - z),dz, onde a curva C vem da parametrização x=-t, y=t^2+2, com 0<= t<=2. O conteúdo envolve parametrização de curvas em C, cálculo de dz e manipulação de números complexos.

Passo 2

Parametrizamos z e obtemos dz. Definindo
z(t) = -t + il(t^2+2r), temos o conjugado e a diferencial:
bar z(t) = -t - il(t^2+2r), $$
\frac{dz}{dt} = -1 + i,2t
$$logo
dzdt = -1 + i,2t

Passo 3

Agora calculemos o integrando 2bar z - z. Substituindo,
2bar z - z = 2l(-t - i(t^2+2)r) - l(-t + i(t^2+2)r) = -t - 3i,(t^2+2)

Passo 4

Multiplicamos (2bar z - z) por dz e simplificamos em função de t:
(2bar z - z),dz = l(-t - 3i(t^2+2)r)l(-1 + i2tr)dt Expandindo e organizando em parte real e imaginária obtemos
(2bar z - z),dz = l(6t^3 + 13tr) + il(t^2 + 6r) em cada diferencial dt. Portanto a integral fica
integral0^2 l(6t^3 + 13tr)dt + iintegral0^2 l(t^2 + 6r)dt

Passo 5

Basta calcular cada uma:
integral0^2 (6t^3 + 13t)dt = 50, $$
\int_0^2 (t^2 + 6)dt = \frac{44}{3}.
$$

Resposta

50 + \tfrac{44}{3}i

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