Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
\int_{C}(2 \bar{z}-z) d z, onde C é x=-t, y=t^{2}+2,0 \leq t \leq 2.
\int_{C}(2 \bar{z}-z) d z, onde C é x=-t, y=t^{2}+2,0 \leq t \leq 2.
Passo 1
Vamos recapitular: queremos calcular a integral
, onde a curva
vem da parametrização
,
, com
. O conteúdo envolve parametrização de curvas em
, cálculo de
e manipulação de números complexos.
Passo 2
Parametrizamos
e obtemos
. Definindo
\frac{dz}{dt} = -1 + i,2t
$$logo
Passo 3
Agora calculemos o integrando
. Substituindo,
Passo 4
Multiplicamos
por
e simplificamos em função de
:
Passo 5
Basta calcular cada uma:
\int_0^2 (t^2 + 6)dt = \frac{44}{3}.
$$
Resposta
50 + \tfrac{44}{3}i