Sejam f e g funções tais que: lim x infty f(x)= 1, lim x infty g(x)=infty. Determine se cada um dos limites a seguir pode ser determinado com base nesta informação. Se ele puder, dê o valor do limite, do contrário, mostre, por uma escolha específica de f e g, que ele não pode.
lim x infty(f(x)-1) g(x)

Passo 1

O enunciado diz que limxtoinftyf(x)=1 e limxtoinftyg(x)=infty, e pede limxtoinfty(f(x)-1)g(x). Esse tipo de limite envolve uma forma indeterminada do tipo 0cdotinfty, pois f(x)-1to0 e g(x)toinfty.

Passo 2

Sabendo que 0cdotinfty é uma forma indeterminada, o valor do limite depende da velocidade com que f(x)-1 vai a zero em relação a g(x) ir a infinito. Apenas com as informações dadas não podemos fixar uma única resposta, então vamos construir contraexemplos.

Passo 3

Escolhendo funções que satisfaçam os limites dados de forma bem simples:
f(x)=1+1x, g(x)=x
Nesse caso
f(x)-1=1xe (f(x)-1)g(x)=1xcdot x=1
Logo limxtoinfty(f(x)-1)g(x)=1.

Passo 4

Para ver outro valor possível, tomemos
f(x)=1+1x^2, g(x)=x
Então
f(x)-1=1x^2e (f(x)-1)g(x)=1x^2cdot x=1xto0
Aqui limxtoinfty(f(x)-1)g(x)=0.

Passo 5

Com mais um exemplo,
f(x)=1-1x, g(x)=x,
vem
f(x)-1=-1xe (f(x)-1)g(x)=-1xcdot x=-1,
mostrando limxtoinfty(f(x)-1)g(x)=-1.

Resposta

O limite não pode ser determinado apenas com as informações limxtoinftyf(x)=1 e limxtoinftyg(x)=infty, pois variando a velocidade de aproximação podemos obter resultados diferentes (por exemplo, 1, 0, –1 etc.).

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