Determinar os pontos críticos das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos críticos da função f(x)=3x^4-4x^3-36x^2. O conteúdo principal aqui é derivadas: vamos precisar calcular f'(x) e resolver f'(x)=0.

Passo 2

Para calcular a derivada usamos a regra do poder em cada termo:
f'(x)=ddxl(3x^4r)-ddxl(4x^3r)-ddxl(36x^2r)=12x^3-12x^2-72x

Passo 3

Agora vamos fatorar f'(x) para encontrar as raízes de forma mais simples:
f'(x)=12x^3-12x^2-72x=12xl(x^2-x-6r)=12x(x-3)(x+2)

Passo 4

As raízes de f'(x)=0 são os valores que anulam cada fator: x=0, x=3 e x=-2.

Passo 5

Para obter os pontos críticos completos, calculamos f(x) em cada raiz:
f(-2)=3(-2)^4-4(-2)^3-36(-2)^2=48+32-144=-64

Passo 6

f(0)=0

Passo 7

f(3)=3cdot3^4-4cdot3^3-36cdot3^2=243-108-324=-189

Resposta

Os pontos críticos são (-2, -64), (0, 0) e (3, -189).

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