Determinar os pontos críticos das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar os pontos críticos da função f(x) = (x+1)² (x-4)³. O conteúdo envolvido é derivada de um polinômio e a definição de ponto crítico (onde f’(x)=0 ou f’ não existe). Como f é polinomial, a derivada existe em todo lugar, então vamos achar onde f’(x)=0.

Passo 2

Para derivar f(x) vamos usar a regra do produto. Definimos u(x) = (x+1)² e v(x) = (x-4)³. A regra do produto nos diz que
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 3

Precisamos agora de u’(x) e v’(x). Como u(x) = (x+1)², pela regra da cadeia temos
u'(x) = 2(x+1)
E, como v(x) = (x-4)³, análoga­mente
v'(x) = 3(x-4)² ²

Passo 4

Substituindo u, v, u’ e v’ na expressão de f’(x):
f'(x) = 2(x+1),(x-4)³ + (x+1)²,3(x-4)² ³²²

Passo 5

Agora vamos fatorar f’(x). Observamos que (x+1) aparece em ambas parcelas, assim como (x-4)². Fatorando temos:
f'(x) = (x+1)(x-4)²l[2(x-4) + 3(x+1)r] ²
No colchete:
2(x-4) + 3(x+1) = 2x - 8 + 3x + 3 = 5x - 5 = 5(x-1)
Portanto
f'(x) = 5(x+1)(x-4)²(x-1) ²

Passo 6

Para achar os pontos críticos, igualamos f’(x)=0. Como 5≠0, os zeros vêm de:
(x+1)=0,(x-4)²=0,(x-1)=0 ²
Isso dá x = -1, x = 4 (multiplicidade 2) e x = 1.

Resposta

Os pontos críticos são x = -1, x = 1 e x = 4.

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