Determinar os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado nos pede para encontrar os pontos críticos da função f(x) = (x+1)² (x-4)³. O conteúdo envolvido é derivada de um polinômio e a definição de ponto crítico (onde f’(x)=0 ou f’ não existe). Como f é polinomial, a derivada existe em todo lugar, então vamos achar onde f’(x)=0.
Passo 2
Para derivar f(x) vamos usar a regra do produto. Definimos u(x) = (x+1)² e v(x) = (x-4)³. A regra do produto nos diz que
Passo 3
Precisamos agora de u’(x) e v’(x). Como u(x) = (x+1)², pela regra da cadeia temos
E, como v(x) = (x-4)³, análogamente
Passo 4
Substituindo u, v, u’ e v’ na expressão de f’(x):
Passo 5
Agora vamos fatorar f’(x). Observamos que (x+1) aparece em ambas parcelas, assim como (x-4)². Fatorando temos:
No colchete:
Portanto
Passo 6
Para achar os pontos críticos, igualamos f’(x)=0. Como 5≠0, os zeros vêm de:
Isso dá x = -1, x = 4 (multiplicidade 2) e x = 1.
Resposta
Os pontos críticos são x = -1, x = 1 e x = 4.