Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
\int_{C}\left(x^{2}+i y^{3}\right) d z, onde C é o segmento de reta de z=1 a z=i.

Passo 1

A integral é de linha de uma função complexa f(z)=x^2 + i y^3 ao longo do segmento de reta de z=1 a z=i. Para resolver, vamos parametrizar o contorno, expressar x, y e dz em função de um parâmetro t e depois calcular a integral.

Passo 2

Como C é um segmento de reta, escolhemos a parametrização
z(t)=1 + t(i-1), tin[0,1]
Dessa forma
x(t)=Re(z(t))=1-t,
y(t)=Im(z(t))=t
e
dz=(i-1),dt.

Passo 3

Substituindo em f e em dz temos
f(z(t))=(1-t)^2 + i,t^3,
e
l((1-t)^2 + i,t^3r),(i-1)
portanto o integrando fica

Passo 4

Expandindo e usando i^2=-1 para separar parte real e imaginária:
(i-1)(1-2t+t^2)+(i^2-i)t^3 =( -1+2t -t^2 -t^3 ) + i(1-2t+t^2 -t^3)

Passo 5

Integramos de 0 a 1 termo a termo:
integral0^1(-1+2t -t^2 -t^3),dt = -tfrac712,
integral0^1(1-2t +t^2 -t^3),dt = tfrac112
Logo, a parte real da integral é -7/12 e a parte imaginária é 1/12.

Resposta

-tfrac712 + tfraci12

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