Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
\int_{C}\left(x^{2}+i y^{3}\right) d z, onde C é o segmento de reta de z=1 a z=i.
\int_{C}\left(x^{2}+i y^{3}\right) d z, onde C é o segmento de reta de z=1 a z=i.
Passo 1
A integral é de linha de uma função complexa
ao longo do segmento de reta de
a
. Para resolver, vamos parametrizar o contorno, expressar
,
e
em função de um parâmetro
e depois calcular a integral.
Passo 2
Como
é um segmento de reta, escolhemos a parametrização
Dessa forma
,
e
.
e
Passo 3
Substituindo em
e em
temos
e
portanto o integrando fica
portanto o integrando fica
Passo 4
Expandindo e usando
para separar parte real e imaginária:
Passo 5
Integramos de 0 a 1 termo a termo:
Logo, a parte real da integral é
e a parte imaginária é
.