Determine, se existir, a reta tangente ao gráfico de cada uma das funções abaixo nos pontos especificados.
ccc2 x^2-1 & se & x <= 1 4 x-1 & se & x>1

Passo 1

A função é dada por partes: para x≤1 temos f(x)=2x^2−1 e para x>1 temos f(x)=4x−1. Queremos a reta tangente no ponto (1,1), o que exige que f seja contínua e diferenciável em x=1.

Passo 2

Verificamos a continuidade em x=1. O valor f(1) pela primeira parte é f(1)=2\cdot1^2−1=1. O limite pela direita é limxto1^+f(x)=4cdot1−1=3. Como 1≠3, f não é contínua em x=1.

Passo 3

Para existir derivada em x=1 precisamos que o limite do quociente de diferença seja igual quando h→0⁻ e h→0⁺. Pela esquerda temos f(1+h)−f(1)h=4+2hto4, mas pela direita f(1+h)−f(1)h=(4(1+h)−1)−1h=2+4hh=2/h+4, que diverge. Logo, a derivada não existe em x=1 e não há reta tangente.

Passo 4

Como falta continuidade e derivabilidade em x=1, não existe reta tangente em (1,1).

Resposta

Não existe reta tangente em (1,1).

Exercícios relacionados