Determine, se existir, a reta tangente ao gráfico de cada uma das funções abaixo nos pontos especificados.
Passo 1
A função é dada por partes: para x≤1 temos f(x)=2x^2−1 e para x>1 temos f(x)=4x−1. Queremos a reta tangente no ponto (1,1), o que exige que f seja contínua e diferenciável em x=1.
Passo 2
Verificamos a continuidade em x=1. O valor f(1) pela primeira parte é f(1)=2\cdot1^2−1=1. O limite pela direita é
. Como 1≠3, f não é contínua em x=1.
Passo 3
Para existir derivada em x=1 precisamos que o limite do quociente de diferença seja igual quando h→0⁻ e h→0⁺. Pela esquerda temos
, mas pela direita
, que diverge. Logo, a derivada não existe em x=1 e não há reta tangente.
Passo 4
Como falta continuidade e derivabilidade em x=1, não existe reta tangente em (1,1).
Resposta
Não existe reta tangente em (1,1).