Use o teste da razão para verificar se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da razão na série . Esse teste faz parte do estudo de séries numéricas e exige calcular o limite para decidir convergência absoluta.
Passo 2
Definimos o termo geral da série como an=(-3)^nn!. Então o próximo termo é an+1=(-3)^n+1(n+1)!. Calculamos:
|an+1an|=|(-3)^n+1/(n+1)!(-3)^n/n!|=3n+1
Passo 3
Agora avaliamos o limite do quociente:
limntoinfty3n+1=0
Passo 4
Como o limite L=0 é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, e portanto converge. Reconhecendo que sumn=0^inftyx^nn!=e^x, aqui temos x=-3, então a soma é e^-3.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge) e sua soma é e^-3.