Use o teste da razão para verificar se a série converge ou diverge.
sumn=0^infty (-3)^nn!

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão na série sumn=0^infty(-3)^nn!. Esse teste faz parte do estudo de séries numéricas e exige calcular o limite L=limntoinfty|an+1an| para decidir convergência absoluta.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como an=(-3)^nn!. Então o próximo termo é an+1=(-3)^n+1(n+1)!. Calculamos:
|an+1an|=|(-3)^n+1/(n+1)!(-3)^n/n!|=3n+1

Passo 3

Agora avaliamos o limite do quociente:
limntoinfty3n+1=0

Passo 4

Como o limite L=0 é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, e portanto converge. Reconhecendo que sumn=0^inftyx^nn!=e^x, aqui temos x=-3, então a soma é e^-3.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge) e sua soma é e^-3.

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