Determine, se existir, a reta tangente ao gráfico de cada uma das funções abaixo nos pontos especificados.
lllx^2 & se & x <= 0 x^3 & se & x>0

Passo 1

O enunciado pede para determinar a reta tangente ao gráfico da função por partes
f(x)= x^2,&x<=0x^3,&x>0
no ponto (0,0). O conteúdo principal é derivada pelo limite pela definição e a equação da reta tangente.

Passo 2

A equação da reta tangente ao gráfico de uma função f em um ponto (a,f(a)) é dada por
y - f(a) = f'(a)(x - a)
Para aplicar isso, precisamos calcular f(0) e f’(0) usando a definição de derivada:
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h

Passo 3

Como a função é por partes, usamos limites laterais:
Para h<0 temos f(0+h)=h^{2}, de modo que
f'-(0)=limhto0^-h^2-0h=limhto0^-h=0
Para h>0 temos f(0+h)=h^{3}, de modo que
f'+(0)=limhto0^+h^3-0h=limhto0^+h^2=0
Como ambos os limites são iguais, f’(0)=0.

Passo 4

Substituindo na equação da reta tangente com a=0, f(0)=0 e f’(0)=0, obtemos
y-0=0cdot(x-0)
que simplifica para y=0.

Resposta

y=0

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