Determine, se existir, a reta tangente ao gráfico de cada uma das funções abaixo nos pontos especificados.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a reta tangente ao gráfico da função por partes
f(x)=
no ponto (0,0). O conteúdo principal é derivada pelo limite pela definição e a equação da reta tangente.
f(x)=
no ponto (0,0). O conteúdo principal é derivada pelo limite pela definição e a equação da reta tangente.
Passo 2
A equação da reta tangente ao gráfico de uma função f em um ponto (a,f(a)) é dada por
Para aplicar isso, precisamos calcular f(0) e f’(0) usando a definição de derivada:
Passo 3
Como a função é por partes, usamos limites laterais:
Para h<0 temos f(0+h)=h^{2}, de modo que
Para h<0 temos f(0+h)=h^{2}, de modo que
Para h>0 temos f(0+h)=h^{3}, de modo que
Como ambos os limites são iguais, f’(0)=0.
Passo 4
Substituindo na equação da reta tangente com a=0, f(0)=0 e f’(0)=0, obtemos
que simplifica para y=0.